Q6 Zwischenspiel - ZBIT-Spielereien

Hier wollen wir mit dem verbesserten ZBIT-Modell aus Q5 ein wenig rumspielen, um mit dem Modell und den Definitionen ein wenig vertrauter zu werden. Um so leichter fällt dann der letzte (kleine) Schritt zum Qubit. Wegen des letzten Abschnitts ist dieser Blog etwas länger geraten. Dafür führt er uns aber zu einer Modell-Darstellung, die schon die für das Qubit-Modell sein wird. Wer keine Lust hat zum Spielen, kann auch einfach nur einen Kaffee trinken und gleich mit dem nächsten Blog weitermachen.

Wir hatten schon festgestellt, dass die inneren Zustände eigentlich beliebig wählbar sind, vorausgesetzt, die Maschinen-Tabellen (Output und Zustandsübergänge) sind konstistent.

1. Alice, Bob, Charly und Debbie

Statt [00] usw. können wir z.B. Namen nehmen:

Alice, Bob, Charly und Debbie statt [00], [10], [01], [11]. Wenn wir die vier dann als Ecken eines Quadrats aufstellen, etwa in der Sporthalle, können wir das Modell als Ballspiel beschreiben:

  1. Jede Runde beginnt bei Alice, sie hat den Ball (Operation R)
  2. Jeder spielt den Ball entsprechend den Regeln von X und H.
  3. Jeder ist dabei frei, welche der Regel sie oder er "werfen" will
  4. Irgendwann pfeift der Referee ab (M)

Die Grafik illustriert das Set-up. Die Pfeile zeigen, wie X und H gespielt werden dürfen. Da die Personen formal Zustände sind, zeigt die Grafik ein sog. Zustandsüberführungs-Diagramm, ein Wort, das man üben muss.

Wir haben noch nicht gesagt, was D, L und P sein sollen. Da wir die inneren Zustände und Übergänge beim Ballspiel beobachten, könnten wir trivialerweise festlegen: D, wenn der Ball bei Abpfiff bei Alice ist, L, wenn er bei Debbie ist und P, wenn er bei einem der beiden anderen ist. Das ist nicht beonders interessant.

Wie wäre es, wenn bei Abpfiff der Ball in einen Basketball-Korb geworfen werden muss? Das ganze Spiel findet hinter einem Vorhang statt, sodass wir es nicht sehen können. Allein den Wurf auf den Korb können wir sehen. Dabei bedeutet D, dass der Ball niemals versenkt wird (Alice), L, dass er mit Sicherheit reingeht (Debbie), und P, dass er manchmal trifft und manchmal nicht, im Verhältnis 1:1.

Fragen: Können wir herausfinden, wer den Ball zum Korb wirft? Wie wäre es, wenn wir dem Team bzw. dem Referee Spielpläne vorgeben würden (Algorithmen)? Wie könnte ein "autonomes" Spiel aussehen? D.h. jeder Spieler entscheidet (zufällig) welchen der möglichen Würfe (R, X, H, M) er oder sie macht.

Wer Lust hat, kann Überlegungen oder Antworten als Kommentar einfügen.

Nun gut, lassen wir die vier weiter spielen und wenden uns einer Darstellung zu, mit der wir das ZBIT-Modell simulieren können.

2. Ein ZBIT-Box Simulationsmodell

Wir haben im Beitrag "Etwas ist anders - Hello Qubit World" die Partitur eines QuBit-Algorithmus gesehen - ohne zu wissen, worum es geht. Solche Partituren können, wenn sie fehlerfrei sind, von Quanten-Computern oder auch von QC-Simulatoren abgearbeitet werden. Es wäre doch interessant, wenn wir die ZBIT-Experimente in diese Form bringen könnten und sie dem Simulator vorlegen könnten.

Da die Experimente mit den ZBIT- und BIT-Modellen schon in Anlehnung an die "Partitur-Form" beschrieben wurden, sollte es uns tatsächlich leicht fallen.

Die Modell-Beschreibung für den QC-Simulator ändert sich kaum: X und H werden vom Simulator "verstanden", das R gibt es nicht explizit, sondern jede Partitur beginnt mit dem Ausgangszustand.  Der wird im Simulator mit |0> gekennzeichnet statt mit [00], aber die Namen der inneren Zustände sind ja unwesentlich. (Was |0> bedeutet, werden wir später sehen.) Das Anzeige-Symbol ("Tacho-Nadel") steht für die Operation M (Messen).

Anders als bei den bisherigen Modell-Beschreibungen können wir nichts über die inneren Zustände des Simulators wissen. Die Zeile der Zustandsübergänge in den bisherigen Experimenten ist nicht verfügbar - jedenfalls beim QC. Die Messergebnisse des Simulators können '0' oder '1' sein, das entspricht dem D und L im ZBIT-Modell. Was wir für P bekommen sehen wir im Experiment.

Wir nehmen das ZBIT-Vorhersage-Experiment aus dem vorausgehenden Blog:

R ------ H ----- X ----- H ---- H ----- M -> P

und bilden es ab auf den QC-Simulator (hier: IBM Q Experience Circuit Composer).

Mit dem QC-Simulator können wir dieses Experiment einmal durchführen und erhalten:
{'0': 1}. Wir wiederholen und bekommen wieder ein {'0': 1}, dann ein {'1': 1}. Das bedeutet, die ersten drei Experiment-Durchläufe resultierten jeweils in einer  '0', bzw. einer  '1'. Wir bekommen also D oder L als Output. Wie bei der ZBIT-Box machen wir jetzt Mehrfach-Experimente, z.B. eine Serie von 50 Durchläufen. Das Ergebnis:

also 28 mal L und 22 mal D in unserer ZBIT-Interpretation.

Das sieht schon recht spannend aus. Im Prinzip könnten wir alle bisherigen Experimente mit dem BIT-Modell und dem ZBIT-Modell in dieser Weise simulieren. Damit kommen wir dem Konzept von Qubit-Algorithmen schon sehr nahe.

Und wir gewinnen eine wichtige Erkenntnis: ZBIT (das verbesserte) und BIT sind Teilmodelle des - hier noch unbekannten - Qubit-Modells.

Wer Lust hat, kann nicht nur Fragen und Antworten als Kommentar unten anfügen, sondern auch unter IBM Q Experience sich registrieren und schon mal im Circuit Composer stöbern. Wir schauen uns das in einem späteren Blog noch mal näher an. Eine ähnliche Umgebung bietet auch Google an mit Cirq.

Nun wenden wir uns einer Darstellung zu, mit der wir das ZBIT-Modell  mit einfachen Formeln berechnen können.

3. Ein Modell mit Formeln

Wir wollen nun versuchen, die Zustände so zu definieren, dass man mit ihnen "rechnen" kann. Statt in den Automaten-Tabellen die Zustandsübergänge nachzusehen, wollen wir sie mit einfachen Formeln berechnen können. Das gleiche für die Outputs.

Eine naheliegende Idee wäre es, die Ziffern in den Zuständen [00] usw. tatsächlich als Zahlen aufzufassen und dazu auch die Output-Ergebnisse in Zahlen umzuwandeln:  D entspricht 0, L entpricht 1, und P dem Wert 1/2. Diese Werte können verstanden werden als Wahrscheinlichkeiten, dass wir Licht sehen, wenn wir die Klappe öffnen. Wir schreiben dafür p(L).

Allerdings hatten wir [00] usw. eigentlich nur als "Label" für die Zustände eingeführt und  nicht als arithmetische Größen. Daher wäre es ein erstaunlicher Zufall, wenn wir damit ein konsistentes arithmetisches Modell bilden könnten.

Tatsächlich geht das aber, bis zu einem gewissen Punkt. Wer sich davon überzeugen will: es gibt einen Annex zu Q6, in dem das dargestellt wird. Wenn wir allerdings das Modell erweitern wollen, z.B. um Zustände, die p(L) = 1/4 als Output liefern, gibt es Schwierigkeiten.

Wir geben uns daher etwas mehr Freiheit bei der Definition eines rechnerischen Modells, indem wir die Zustände ("Labels"), in ein x-y-Koordinatensystem einbetten. (Wir erinnern uns, dass wir mit den zwei-ziffrigen Zuständen in Q5 so etwas wie 2-dimensionale Zustände eingeführt hatten.) Die Zustände werden dann zu Punkten in der x-y-Ebene.

Wir halten die Bezeichnungen [00] bzw. Alice zunächst einmal bei. Sie benennen die Punkt, so wie man Punkte A, B und C eines Dreiecks in der Ebene benennt und mit Koordinaten versieht. Trotzdem können die 0-en und 1-en etwas verwirrend wirken. Die Punkte werden mit ihren Koordinaten in normalen Klammern geschrieben, also z.B. (1,0), die [00] in eckigen Klammern sind die Label der Punkte, ebenso wie die Namen Alice etc.

Das  Einfachste ist, die beiden Zustände [00] und [11] - die ja auch die BIT-Zustände repräsentieren - auf die Koordinaten-Achsen zu platzieren. [00] als Punkt auf der x-Achse bei 1: (x,y) = (0,1). Und [11] entsprechend auf der y-Achse: (x,y) = (1,0). Das Diagramm zeigt wie.

Wohin gehört Bob?

Wo würden wir dann die Zustände [10] und [01] positionieren? Nun, das können wir bereits "ausrechnen". Schauen wir uns dazu zunächst die passenden Formeln für die Wirkung der Operatoren R, X und H an.

R ist einfach: R(x,y) = (1,0). Das Reset überführt jeden Zustand in den Ausgangszustand, der jetzt die Koordinaten (0,1) hat.

Auch X ist nicht schwer: X(x,y) = (y,x). X als "Switch" vertauscht die Koordinaten. Das passt schon mal für die beiden vorgegeben Zustände (1,0) <-> (0,1).

Wir haben uns noch nicht um den Output gekümmert. Der Output von (1,0) (i.e. [00]) muss p(L) = 0 sein, der vom (0,1) (i.e. [11]) entspechend p(L) = 1. Es liegt daher nahe, die y-Koordinate als p(L) zu übernehmen. Die x-Koordinate wäre entsprechend als Wahrscheinlichkeit für D zu interpretieren: p(D).

Hieraus folgt direkt und zwingend: p(L) + p(D) = 1.

Damit bekommen wir folgende Bedingungen für die Zustände [10] und [01]:
(1) Sie müssen so positioniert werden, dass die Summe ihrer beiden Koordinaten 1 ergeben.
(2) Der zugehörige Output muß 1/2 ergeben;  die y-Koordinate muss also 1/2 sein.
(3) Wegen der Wirkung von HH, müssen H[00] = [01] und H[11] = [10] unterschiedliche Koordinaten haben.

Man sieht sofort, dass diese Bedingungen unvereinbar sind: [01] kann mit den Koordinaten (1/2,1/2) die Bedingung (1) und (2) erfüllen. Es gibt aber keinen weiteren Punkt, der (1) und (2) erfüllt.

Wir ändern daher die Output-Definition: M (x,y) = p(L) = |y|, d.h. die Wahrscheinlichkeit für L ist der Absolutbetrag von y. Die Bedingungen (1) und (2) werden dann zu
(1') Die Summe der Beträge der Koordinaten muss 1 sein: |x|+|y| = 1. Und
(2') Der Betrag der y-Koodinate muss 1/2 sein

Wenn wir dann [10] mit den Koordinaten (1/2,-1/2) versehen, werden alle drei Bedingungen erfüllt. (Siehe Grafik.)

Das ZBIT-Modell einem Koordinatensystem

Weiter stellen wir fest, dass aus der Anwendung X und H auf schon bekannte Zustände neue Punkte hervorgehen, die wir ebenfalls als Zustände zulassen müssen.  So muß z.B. mit (1/2,-1/2), den Koordinaten für [10],  auch X(1/2,-1/2) = (-1/2,1/2) = -(1/2,-1/2) ein zulässiger Zustand sein. Wenn H(1/2,-1/2) wieder (0,1) sein soll (doppelte H Anwendung auf [11]), dann muss H(-1/2,1/2) = (0,-1) zulässig sein. Und X(0,-1) = (-1,0) = -(1,0) ebenso. Das Diagramm zeigt die Zustände als Punkte, die Pfeile für die Operatoren sind wegen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet. Man kann aber, wenn man Lust hat, selbst versuchen, diese Zustandsübergänge einzuzeichnen (gedanklich), soweit es geht.

Das ist zunächst einmal überraschend: Wenn wir die 4 Zustände des ZBIT-Modell durch Punkte im (x,y)-Koordinatensystem darstellen wollen, erweitert sich das Modell zwangsläufig auf 8 Zustände! In unserem ZBIT Ball Game oben, würden dann Alice, Bob, Charly und Debbie jeweils einen Zwilling bekommen, Twin-Alice usw. Eigentümlich - aber niemand zwingt uns, bei einem Modell für die ZBIT-Box mit nur 4 Zuständen auszukommen. Vier ist das Minimum, aber 8 geht auch. Im Diagramm sind die "Twins" als helle Punkte eingezeichnet. Frage: Welcher Punkt ist Twin von wem?

Damit haben wir für das Koordinaten-basierte Modell:

  • Die Zustandsmenge
  • Die Wirkung von R und X als Formel
  • Die Zustand -> Output Abbildung M mit der Interpretation als p(L), Wahrscheinlichkeit für L als Messergebnis

Was fehlt, ist die Formel für H. Wir hatten festgelegt, dass (1,0) (Label [00]) durch H in (1/2,1/2) überführt werden soll und (0,1) (Label [11]) in (1/2,-1/2). Eine naheliegende Formel für H wäre: H(x,y) = 1/2 (x+y, x-y). Sie liefert für (1,0) und (0,1) genau das, was sie soll. Aber wie sieht es mit (1/2,1/2) und (1/2,-1/2) aus. H auf diese Zustände angewandt müsste ja wieder (1,0) bzw. (0,1) ergeben.

Jedoch: H(1/2,1/2) = 1/2 (1/2+1/2, 1/2-1/2) = 1/2 (1,0). Den gleichen Widerspruch erhalten wir für (1/2,-1/2). Der Faktor 1/2 macht die Inkonsistenz aus. Wenn wir allerdings den Faktor 1/2 in der Definition von H weg lassen, bekommen wir für (1,0) und (0,1) schon gleich falsche Ergebnisse.

Was tun? Vielleicht etwas dazwischen - zwischen 1/2 und 1? Wie es die Mathematiker gerne machen, wenn man sich nicht entscheiden kann, setzt man anstelle von 1/2 eine Variable, sagen wir a, und versucht, dafür einen passenden Wert zu bestimmen. Das ist sehr elegant. Probieren wir also:  H(x,y) = a*(x+y,x-y).

H(1,0) ergibt dann nicht mehr (1/2,1/2) sondern (a,a), was immer a auch ist. Entsprechend H(0,1) = (a,-a). Wenn wir darauf wieder H anwenden, bekommen wir H(a,a) = a*(a+a,a-a) = a*(2a,0) und H(a,-a) = a*(a+(-a),a-(-a)) = a*(0,2a). Andererseits muss H(a,a) = (1,0) sein, also a*2a = 2a² = 1 oder a = 1/sqrt(2). Das klappt auch mit der zweiten Bedingung. Très chic !

Allerdings stehen wir damit wieder am Anfang. Wir müssen die drei Spiegelpunkte oben wieder neu festlegen. Aber dieses Mal lohnt sich die Spielerei; denn wir haben hiermit automatisch die grundlegenden Komponenten für ein Qubit-Modell in Q7 abgeleitet.

  • Die 8 Zustände sind (1,0), (0.1), (-1,0), (0-1) und (a,a), (-a,a), (-a,-a), (a,-a) mit a = Wurzel aus 1/2. Alle diese Zustände liegen auf einem Kreis mit Radius 1.0 im x,y-Koordinatensystem. Sie erfüllen die Bedingung x² + y² = 1, die Gleichung des Einheitskreises.
  • R und X sind genau wie zuvor definiert, und H als H(x,y) = a*(x+y,x-y).
  • Wie ist die Zustand-Output Beziehung? Jetzt ergibt M(x,y) = y² das p(L), die Wahrscheinlichkeit für L bei einer Messung. Und p(D) ist entsprechend x² = 1-y², was ja für alle Zustände auf dem Einheitskreis stimmt.

Das Diagramm zeigt das ZBIT-Modell mit diesen Festlegungen.

ZBIT-Modell mit konsistenten Zuständen im x-y-Koordinatensystem

Der letzte Abschnitt war sicher keine einfache Spielerei mehr. Aber wir haben es geschafft. Und, wie wir sehen werden, gleichzeitig DAS Werkzeug für Qubit-Algorithmen gefunden.

Frage: Wie würde das ZBIT Ball Game aussehen, wenn wir die vier neuen Spieler ins Feld bringen würden -  nennen wir sie Twin-Alice, Twin-Bob, Twin-Charly und Twin-Debbie? Wer Lust hat usw.

Im nächsten Blog, versprochen, kommen wir aber zum QuBit-Modell - zumindest in einer ersten Form.

Fortsetzung folgt - Stay tuned!

 


Q5 Ein verbessertes ZBIT-Modell

Können wir ein verbessertes ZBIT-Modell entwerfen, dass den Widerspruch bei der doppelten H Operation auflöst?  Wir erinnern uns:

Wir haben beim Experimentieren mit der ZBIT-Box gesehen, dass sich zweimal H hintereinander aufheben. Mit dem bisherigen ZBIT-Modell ließ sich dieses Ergebnis nicht herbeiführen. Denn H auf [0] angewendet ergibt [1/2], aber auch H auf [1] angewendet ergibt [1/2]. Damit kann nicht gleichzeitig HH[0] = H[1/2] = [0] und HH[1] = H[1/2] = [1] sein.

Ein verbessertes ZBIT-Modell

Wie können wir  ein verbessertes Modell für die ZBIT-Box entwerfen? Der Widerspruch entstand, als wir H auf den  einen neu eingeführten Zustand [1/2] anwendeten und erwarteten, dass daraus zwei verschiedene Ergebnisse hervorgehen. Das war zwar naheliegend (Occam's Razor Prinzip, mal bei Wikipedia nachschlagen), aber vielleicht hätten wir besser zwei neue Zustände eingeführt.

Das kann man einfach erreichen, indem man zu der ursprünglichen Zustandsvariablen mit zwei möglichen Werten eine weitere mit ebenfalls zwei Werten hinzufügt. D.h. der innere Zustand hat zwei Größen, sagen wir s1 und s2, die die Werte [0] und [1] haben können. Die Zahlen haben wieder keine Bedeutung; wir könnten die Zustände auch a und b nennen oder a1, b1 und a2, b2 nennen. Damit gibt es für  (s1, s2) genau vier mögliche Kombinationen!

Die Wahl von [0] und [1] erweist sich aber als ganz praktisch. So können wir uns z.B. einfach vorstellen, dass die inneren Zustände des neuen ZBIT-Modells die vier Ecken des Einheitsquadrats in der Ebene darstellen - weswegen wir auch sagen, dass der Zustand 2-dimensional ist.

Das neue ZBIT-Modell legen wir ähnlich wie oben fest:

  1. Wir nehmen für das neue Modell  zwei Zustandsvariablen (oder: einen zwei-dimensionalen Zustand)  und kennzeichen diese  [0][0], [0][1], [1][0] und [1][1].  Um uns die Klammerei zu erleichtern, "labeln" wir die Zustände stattdessen einfach mit [00], [01], [10] und [11].
  2. Wir setzen [00] als den Startzustand
  3. Die Outputs werden als D,  L und P abgekürzt, für Dunkel und Licht und den variablen Zufalls-Output.
  4. Die  Operationen sind wieder mit R, X und H bezeichnet und repräsentieren Klappe zu und das Berühren von Touch-Feld X bzw. H.
  5. Das Messen (M) des 2-dimensionalen ZBIT-Zustands (Klappe auf und schauen), d.h. die Zuordnung Output zu Zustand, kann nun vier Ergebnisse haben. Wir legen fest:
    M: [00] -> D, [01] -> P, [10] -> P und [11] -> L

Auch die Wirkung der Operatoren R, X und H müssen wir neu festlegen. Das geschieht am übersichtlichsten in eine vollständigen Tabelle, analog der vom ersten Versuch.

Zustand | Neuer Zustand bei
        |    R      X      H
[00]    |   [00]   [11]   [01]
[01]    |   [00]   [10]   [00]
[10]    |   [00]   [01]   [11]
[11]    |   [00]   [00]   [10]

Als technische Konstruktion des Modell können wir uns vorstellen, dass im Inneren zwei (!) Schalter sitzen, die durch die Touch-Felder bzw. "Klappe zu" betätigt werden. Wie, sagt die Tabelle. Und die Schalterstellung bestimmt, ob Dunkel, oder Licht oder zufällig zur Hälfte Licht und Dunkel zu sehen ist beim Öffnen der Klappe. Z.B. besagt die M-Tabelle, dass, wenn die Schalter "verschieden" gesetzt sind, der Zufallsoutput erfolgen muss. Wie man das baut - mal ausprobieren. Z.B. mit Roberta (IAIS).

An dieser Stelle ist noch einmal wichtigt zu bedenken, dass auch die technische Konstruktion ein Modell für die Blaue Box ist. Im Gegensatz zur Box haben wir aber vollständige Einsicht in unsere Modell-Box.

Wir müssen nun erneut prüfen, ob das Modell widerspruchsfrei ist, d.h. im Experiment das Verhalten der blauen ZBIT-Box zeigt. Für die Operationen R, X, H müssen wir in die Tabelle schauen, für M in die Output-Liste. Wir beschränken uns hier auf die Beispiele vom ersten Modell und die "Problemfälle" dort.

R ------ X ------ H ---- M -> 1:1 liefert die ZBIT-Box im Serienexperiment
[00] -> [11] -> [10]  -> P       liefert das neue Modell. Das passt wieder.

"1:1"  bedeutet Dunkel / Licht im Verhältnis 1:1.

R ------ H ------ X ---- M -> 1:1 ZBIT-Box Messreihe
[00] -> [01] -> [10]  -> P          ZBIT-Modell Output

Noch ein paar einfache Fälle, die wir schon aus dem BIT-Modell kennen:

R ----- M -> Dunkel          R ----- X -----M -> Licht
[00] -> D                          [00] -> [11] -> L

R ------ X ------ X ---- M -> Dunkel
[00] -> [11] -> [00] -> D

Passt also. Nun die Doppel-H Experimente:

R ------ H ----- H -----M -> Dunkel als ZBIT-Box Output
[00] -> [01] -> [00] -> D       Modell Output. Passt!

Für HH[11] müssen wir zunächst den Ausgangszustand [00] mit Hilfe von X zu [11] machen und dan HH anwenden.
R ------ X ------ H ----- H -----M ->  Licht in der Box
[00] -> [11] -> [10] -> [11]  -> L         "Licht" im Modell

Durch Hinzunahme einer zweiten Zustandsgröße konnten wir also den Widerspruch des ersten Versuchs auflösen. Das ist auch leicht zu verstehen: der Zustand nach dem ersten Anwenden von H würde bei Messung zwar immer P ergeben, er trägt aber noch die Information, "woher" er kommt, von [00] oder [11]. nämlich in der Reihenfolge von 0 und 1 im Zustand. (Genial! findet der G.E.)

ZBIT Vorhersagen

Natürlich können wir auch jetzt noch nicht ausschließen, dass das Modell nicht widerspruchsfrei ist. Dazu müssten wir alle möglichen Abfolgen von Operationen (Algorithmen) gegen die ZBIT-Box evaluieren - oder zumindest eine endliche Menge davon, auf die "alle möglichen" reduziert werden können.

Was wir weiterhin machen können, sind Vorhersagen. D.h. wir können eine noch nicht gesehene Abfolge von Operationen im Modell berechnen und das Ergebnis experimentell an der ZBIT-Box überprüfen. Ein Beispiel, das wir bei der Erforschung der Box oben noch nicht als Experiment durchgeführt hatten

R ------ H ----- X ----- H ---- H ----- M ergibt
[00] -> [01] -> [10] -> [11] -> [10] -> P

Das zugehörige Experiment: Klappe zu -> Touch H -> Touch X -> Touch H -> Touch H -> Klappe auf: Dunkel. Wir wissen, dass wir das gleiche Experiment vorsichtshalber in Serie durchführen müssen, um zwischen P und Licht oder Dunkel unterscheiden zu können. Wir tun das 20 Mal und sehen 11 Mal Dunkel und 9 Mal Licht, experimentell also eindeutig P bestätigt.

Fragen: Wie oft müssten wir das Experiment mindestens wiederholen, bis wir das Ergebnis P bestätigen können? Wie oft, um ein vorausgesagtes Ergebnis L zu bestätigen? Hier haben wir offenbar ein Problem. Wir können, da wir das "Innere" der Box nicht kennen können, nie sicher sein, ob nicht bei der nächsten Wiederholung ein D folgt. Wie immer müssen wir uns damit zufrieden geben, L als bestätigt zu sehen, wenn wir bei einer großen Anzahl von Wiederholungen immer L gesehen haben. Anders ausgedrückt, wir "bestätigen" das Ergebnis mit (einfachen) statistischen Methoden - aber das ist eine ganz andere Baustelle.

Aufgaben:

  1. Die 2-dim Zustandsdefinition erinnert an die üblichen vier 2-Bit Kombinationen. Könnte man die ZBIT-Box möglicherweise mittels zweier BIT-Modelle modellieren?
  2. Was wäre, wenn man beim Berühren von H nicht Licht und Dunkel im Verhältnis 1:1 beobachtet sondern z.B. 1:3 (Häufigkeit von D etwa 1/4)?
  3. Das dauernde Wiederholen eines Experiments, von dem man als Output P erwartet ist eigentlich lästig. Könnten wir uns eine technische Konstruktion ausdenken, die den Output P durch ein halb so helles Licht anzeigt?

Wer Lust hat, kann gerne die Fragen und die Aufgaben im Kommentarfeld unten diskutieren.

Vom ZBIT-Modell ist es nun nur noch ein kleiner Schritt zum Qubit-Modell. Aber erst mal wieder: Pause - also einen Kaffee trinken oder etwas spielen.

Hier geht's weiter.


Q4 ZBIT - unterwegs zum Qubit-Modell

Im vorausgegangenen Teil haben wir ein sog. Automaten-Modell für die BIT-Box entwickelt. Ein Automat, genauer, ein endlicher Automat (im Englischen Finite State Machine), ist ein einfaches Konstrukt, das aus folgenden Teilen besteht: Eingabe - innerer Zustand - Ausgabe, eine Methode zur Änderung des Zustands und eine, die den Output festlegt. Endlich heißt der Automat, weil die Möglichkeiten zur Eingabe, die Zustände und die Ausgaben nur einen endlichen Umfang haben.

Das BIT-Box-Modell hat, so gesehen, Null Eingabe-Möglichkeiten (ja, auch das geht!), 2 Zustände und 2 Output-Möglichkeiten. Die Zustandsveränderungen sind durch die beiden kleinen Tabellen für R und X festgelegt und die Output-Methode ist das Messen, M, das auch durch eine Tabelle festgelegt ist. Das BIT-Box-Modell ist damit ein sehr einfacher endlicher Automat. Was dazu führt, dass man sich angewöhnt hat, die mögliche Struktur, die technische Konstruktion eines BITs zu ignorieren und einfach davon zu sprechen, dass ein Bit etwas ist, was "im Zustand 0 oder 1 sein kann". Mit dieser Definition kann man z.B. hervorragend Informatik betreiben, ohne sich um die Physik zu kümmern. Aber das führt hier zu weit - wir wollen ja zum Qubit-Modell.

Z B I T

Am Ende des letzten Abschnitts hatte uns der Große Experimentator mit einer blauen ZBIT-Box konfrontiert. Die wollen wir jetzt verstehen. Wir machen wieder allerlei Klappe-auf / Klappe-zu Experimente, berühren die Touch-Felder usw. Also los!

Als erstes wiederholen wir die für die BIT-Box. Klappe auf: Dunkel. Erst X, dann Klappe auf: Licht usw. Die Messergebnisse sind wie bei der BIT-Box. Jetzt beziehen wir das neue Touch-Feld H in die Experimente ein:

Ausgangspuntk ist immer "Klappe zu".
H und Klappe auf: Licht. Wiederholung: Klappe zu, H und Klappe auf: Dunkel. Nanu! Wiederholung: Dunkel, Wiederholung: Licht. Jetzt werden wir systematisch und wiederholen in einer Serie das Experiment 20 mal und notieren uns die Ergebnisse. Wir bekommen 12 mal Licht, 8 mal Dunkel. Wir wiederholen die Serie: 11 mal Dunkel, 9 mal Licht... Am Ende sind wir überzeugt:

H und M (Klappe auf) ergibt "zufällig" Licht oder Dunkel, im Schnitt jeweils in der Hälfte der Experimente einer Serie.

Jetzt wissen auch auch, warum der G.E. das Feld mit "H" bezeichnet hat: H wie Halbe, oder Hälfte, oder 1/2. Und warum die Box ZBIT heißt: Abkürzung für "Zufalls BIT Intelligence Tester".

Jetzt kommt uns eine weitere Idee: bisher war H berührt worden direkt nach dem  Ausgangspunkt (Klappe zu). Was wäre, wenn wir vorher noch das X  berühren? Machen wir also die Serien noch mal, aber in der Abfolge: Ausgangspunkt, X, H und dann M. Wir stellen fest: bis auf zufällige Abweichungen das gleiche Verhalten wie vorher, ohne X. Halb Licht, halb Dunkel.

Und was ist, wenn wir H zweimal hintereinander berühren, nachdem die Klappe geschlossen wurde? Wir bekommen, auch in Serie, immer Dunkel. Wenn wir vorher noch X berühren, immer Licht. Doppeltes Berühren von  H hebt sich also auf.

Das ZBIT-Modell

Bevor wir weiter experimentieren, versuchen wir uns ein Modell zu machen in der Art wie bei der BIT-Box, quasi als Erweiterung. Wir sehen zunächst, ob das klappt, und überprüfen es dann mit verschiedenen Experimenten.

  1. Wir nehmen für das ZBIT-Modell 3 interen Zustände und und kennzeichen diese Zustände mit [0],  [1] und - neu - [1/2]. Die Zahlen haben wieder keine Bedeutung; wir könnten die Zustände auch Alice, Charly und Bob nennen.
  2. Wir setzen [0] als den Startzustand
  3. Die bekannten Outputs sind wieder D und L, für Dunkel und Licht. Neu ist der in der Serie variable Output, den wir mit P kennzeichnen.
  4. Die beiden Operationen X und R hatten wir schon eingeführt, für Touch-Feld X Berühren bzw. Klappe zu.
  5. Neu hinzugekommen ist das Touch-Feld H. Dafür führen wir den Operator H im Modell ein.
  6. Die  Wirkung von R, X, H auf die ZBIT-Zustände ist wie folgt:

R:  [0] -> [0] und [1] -> [0]  (Reset)
X:  [0] -> [1] und [1] -> [0]  (Switch)
H: [0] -> [1/2] und [1] -> [1/2] (Halbe-Halbe)

Das Messen des ZBIT-Zustands (Klappe auf und schauen) kürzen wir mit M ab. Messen des Zustands ergibt
M: [0] -> D  und  [1] -> L und [1/2] -> P

Da fehlt doch was! Wie wirken die Operationen R, X und H auf den neuen Zustand [1/2]? Wir machen dazu eine zunächst mal plausible Erweiterung der drei kleinen Tabellen und prüfen dann, ob das in sich stimmig wird.

R: [1/2] -> [0] ist plausibel, da "Klappe zu" den Ausgangszustand herstellen soll
X: [1/2] -> [1/2] ist ebenfalls plausibel, denn das Touch-Feld X vertauscht die Zustände nur. Und [1/2] ist der einzige Zustand, der beim "Vertauschen" von  [1/2] mittels X entstehen könnte.
H: [1/2] -> ? Hier müssen wir kurz nachdenken. Wenn der Zustand [1/2] die Bedeutung hätte, in der Hälfte der Fälle eigentlich [0] zu sein und in der anderen Hälfte [1], dann würde H in der einen Hälfte auf [0] wirken und [1/2] ergeben, in der anderen Hälfte auf [1] und ebenfalls [1/2] ergeben. Also scheint es plausibel zu setzen:
H: [1/2] -> [1/2]

Hier noch mal  gesamte Tabelle der Zustandsübergänge als Übersicht:

Zustand | Neuer Zustand bei
        |    R      X       H
[0]     |   [0]    [1]     [1/2]
[1]     |   [0]    [0]     [1/2]
[1/2]   |   [0]    [1/2]   [1/2]

Wir wollen nun einige Experimente (Algorithmen) mit diesen Operationen durchführen und damit überprüfen, ob das ZBIT-Modell mit der ZBIT-Box übereinstimmt.

R ---- X ---- H ---- M -> 1:1 liefert die ZBIT-Box in Serie
[0] -> [1] -> [1/2] -> P       liefert das Modell. Das passt.

R ---- H ------- X ---- M -> 1:1  ZBIT-Box Experimente (in Serie)
[0] -> [1/2] -> [1/2] -> P         ZBIT-Modell Output

Soweit stimmen Modell und die ZBIT-Box des G.E. überein.

Wir haben beim Experimentieren oben gesehen, dass sich zweimal Touch-Feld H hintereinander aufheben. Wir prüfen, ob das mit dem Modell übereinstimmt. Offenbar nicht! H auf [0] angewendet ergibt [1/2], aber auch H auf [1] angewendet ergibt [1/2]. Damit kann nicht gleichzeitig HH[0] = H[1/2] = [0] und HH[1] = H[1/2] = [1] sein. Und wie wir der Tabelle entnehmen, hatten wir sinnvollerweise auch HH[0] = HH[1] = H[1/2] = [1/2] gesetzt.

Diese Herleitung ist gleichzeitg ein schönes Beispiel dafür, wie man mit den Automaten-Symbolen rechnen kann! Vielleicht etwas ungewöhnlich, aber verständlich.

Wir müssen also offenbar unser schönes ZBIT-Modell verwerfen, da es mit der Beobachtung an der ZBIT-Box im Widerspruch steht. Ein ganz normales wissenschaftliches Vorgehen.

Können wir ein verbessertes ZBIT-Modell entwerfen, das diesen Widerspruch auflöst? Das besprechen wir im nächsten Blog. Denn auch wenn wir den "Zufalls BIT Intelligenz Test" noch nicht bestanden haben, brauchen wir erst mal eine Pause. Danach geht es dann einen großen Schritt weiter in Richtung Qubit.

 


Q3 Vom Bit- zum Qubit-Modell

Um herauszufinden, was das Hello Qubit World eigentlich macht, müssen wir uns doch erst mal ein Bild davon machen, was ein Qubit sein soll - im Vergleich zu einem Bit. Wir entwickeln dazu ein verständliches Modell eines Qubits, das wir verstehen können ohne die physikalische Quantentheorie verstehen zu müssen.

B I T

Stellen wir uns vor, der Große Experimentator stellt uns einen schwarzen, würfelförmigen Kasten hin, auf dem oben die Buchstaben "B I T" stehen. Der Kasten hat vorne rechts eine Klappe, die man nach unten öffnen kann. Und ein Touch-Feld  markiert mit einem "X"  links daneben.

Was machen wir? Was zuerst? Die Klappe auf oder das Feld berühren? Egal - wir öffnen die Klappe und sehen ... nichts, es ist dunkel in der Box. Wir schließen die Klappe und öffnen sie wieder. Keine Änderung. Wir berühren das Touch-Feld: es tut sich nichts. Wir schließen die Klappe, berühren das Feld, machen die Klappe auf: Licht. Aha! Klappe zu, Klappe auf: wieder Dunkel. Aha! Es kristallisiert sich eine Vermutung heraus. Und jetzt werden wir systematisch:

  1. Ausgangspunkt: Klappe zu
  2. Klappe auf: Dunkel
  3. Wiederholung: es bleibt Dunkel
  4. Ausgangspunkt: Klappe zu
  5. X berühren, Klappe auf: Licht
  6. Wie 4. und 5., aber zweimal hintereinander X berühren: Dunkel
  7. Wiederholungen 1.-3. bzw. 4. und 5. bzw. 7. zur statistischen Absicherung.

Das lässt uns folgende empirische Regel vermuten:

Macht man nur die Klappe auf, ist es dunkel. Berührt man vorher das Touch-Feld, sieht man Licht. Berührt man es mehrmals hintereinander, heben sich jeweils zwei X gegeneinander auf.

(Jetzt wissen wir auch, warum der Große Experimentator den Kasten mit BIT beschriftet hat: Abkürzung für "BIT Intelligence Tester". War aber ziemlich einfach.)

Wie die BIT-Box das macht, wie sie konstruiert ist, können wir leider nicht wissen. Selbst wenn wir sie zerschlagen würden, hätten wir nur ein paar unverständliche Brocken. Wir können aber ein Modell davon machen, zunächst auf Papier.

Das BIT-Modell

Wir legen fest, BIT hat eine interne Zustandsvariable. Die kann zwei Werte (Zustände) annehmen. Mit der gültigen Operation X , das entspricht dem Touch-Feld-Berühren bei der Box,  lässt sich der Modellzustand wechseln. Die Operation R, das dem Schließen der Klappe entspricht, stellt einen festgelegten Anfangszustand von BIT her (Reset). BIT gibt uns je nach Zustand ein Signal als Output, das "Licht" oder "Dunkel" entspricht. Dazu müssen wir aber etwas tun: bei der Box die Klappe öffnen und nachschauen. Wir können das als Messen (M) des BIT-Zustands auffassen. Die Operation X kann nur "bei geschlossener Klappe" ausgelöst werden, d.h. wir können die Wirkung der Operation nicht unmittelbar beobachten, ebenso wenig wie die internen Zustände. Wir erschließen beides aufgrund des Outputs, den wir durch M (Klappe auf) bekommen.

Nach dieser Modellbeschreibung können wir leicht eine weiße Box konstruieren und bauen. Das einfachste ist eine kleine Lichtanlage mit einem (inneren) Schalter, der durch "Knopfdruck" X geschaltet wird - aber nur wenn die Beobachtungsklappe geschlossen ist.

Wir können es aber etwas "mathematischer" beschreiben, so dass wir im Prinzip das BIT-Modell "berechnen" können.

  1. Wir kennzeichen die beiden Zustände mit [0] und [1]. Die Ziffern haben keine Bedeutung; wir könnten die Zustände auch Paul und Paula nennen.
  2. Wir setzen [0] als den Startzustand
  3. Die Outputs des Modells werden als D und L abgekürzt, für Dunkel und Licht
  4. Die beiden Operationen X und R hatten wir schon eingeführt: Touch-Feld Berühren bzw. Klappe zu.  Ihre Wirkung auf den BIT-Zustand ist wie folgt:

R:  [0] -> [0] und [1] -> [0]  (Reset)
X:  [0] -> [1] und [1] -> [0]  (Switch)

Das Messen des BIT-Zustands (Klappe auf und schauen) kürzen wir mit M ab. Messen des Zustands ergibt
M: [0] -> D  und  [1] -> L

Ein Experiment mit diesem Modell kann dann z.B. so beschrieben werden: R--X--X--M .  Was bedeutet das? Im Modell können wir die Zustandsfolge und den Output nun "berechnen":

R -----X-----X-----M
[0] -> [1] -> [0] -> D

Der Output nach M ist - D.  Beim entsprechende Experiment mit der black box  können wir davon nur Dunkel beobachten. das entspricht dem D als Output. Die Operationen können wir auslösen, aber ihren Effekt nur erschließen, z.B. aus
R----M -> D
R----X----M -> L

Was ergibt folgender Algorithmus?
R----X----X----R----M
Nichts - diese Abfolge ist offenbar nicht zulässig. Solange die Klappe zu ist kann sie nicht wieder geschlossen werden. Es gibt also gewisse Regeln zu beachten in der Aufeinanderfolge von Operationen. Nicht alles ist möglich, bzw, "wohldefiniert".

R----X----M----R----M ist dagegen möglich. Der Output ist D - klar?

Nicht von ungefähr erinnern diese Operations-Linien schon an die Diagramme von einfachen Qubit-Algorithmen im letzten Abschnitt.

Algorithmen

Wir können mit dem BIT-Modell bereits kleine Algorithmen formulieren und - gedanklich - mit der BIT-Box manuell durchführen. Ein Beispiel:

R---X---M---R---M---R---X---M   liefert an den Messpunkten (M): L D L

oder Beeb Bib Beeb, den Morse-Code für den Buchstaben 'K'.

Als kleine Übungen kann man versuchen, BIT-Modell Algorithmen aufzuschreiben, die z.B. 'GE' oder 'Hello World' ausgeben - in Morse Code oder ASCII. Wer Lust hat, kann Ergebnise, Fragen oder Diskussionsbeiträge in das Kommentarfeld zum Blog eintragen.

Offenbar haben wir damit die BIT-Box verstanden. Gemeinerweise hat der Grosse Experimentator aber noch eine ganze Reihe von anderen BIT Boxen auf Lager. So finden wir jetzt eine Box in Blau vor, die im Wesentlichen so aussieht wie die BIT-Box. Allerdings hat sie ein weiteres Touch-Feld H, so dass wir links neben der Klappe jetzt die Berühr-Felder X und H finden. Und oben steht jetzt, Weiß auf Blau, "ZBIT".

 

Bevor wir uns aber daran machen, die ZBIT-Box zu analysieren, brauchen wir eine kleine Pause. Daher geht es im nächsten Teil weiter mit der ZBIT-Box.

 


Q1 Etwas ist anders! - Qubit-Algorithmen

Muss ich Quantenphysik kennen, oder verstehen, wie Quantencomputer funktionieren, um mich mit  sog. Quanten-Algorithmen zu beschäftigen?

Sicher nicht! Lass uns deshalb lieber von Qubit-Algorithmen, oder kurz Q-Algorithmen sprechen.  Die Idee der Qubit-Algorithmen gab es schon, bevor die ersten Quantencomputer nutzbar wurden.

Nicht anders als bei den Bit-Algorithmen, den herkömmlichen Algorithmen, die für "normale" Computer programmiert werden. Auch hier verstehen die Wenigsten die zugrunde liegende Physik und viele auch nicht, wie normale Computer funktionieren. Hauptsache, man kann spielen, chatten, Musik hören - ja, und manchmal sogar programmieren.

Allerdings - etwas ist anders bei Q-Algorithmen. Was darauf zurückzuführen ist, dass irgendwo doch die Quantenphysik schon im Hinterkopf war, als  Qubits und Qubit-Algorithmen "erfunden" wurden. Das wollen wir hier heraus finden.

Und es ist echt spannend, dass man heute reale, programmierbare Quantencomputer im Internet (als Cloud Service) frei verwenden kann, z.B. von IBM oder Google. Es ist schon ein etwas anderes Gefühl, ein eigenes kleines Q-Programm auf einem realen Q-Computer laufen zu lassen. Einfacher geht es übrigens mit Q-Computer-Simulatoren, also "Modellen" von Quantencomputern, die auf normalen Computern laufen und so tun, als wären sie QCs. Zum Ausprobieren von Q-Algorithmen perfekt.

Es wird heutzutage in den Medien viel Wunderliches über QCs und Qubit-Algorithmen geschrieben. Wie super-schnell sie sind - genauer, in Zukunft sein werden, welche geheimnisvollen Objekte Qubits sind, die gleichzeitig verschiedene Zustände haben können. Dann ist da von "Schrödingers Katze" die Rede, die gleichzeitig tot und lebendig sein soll - also wohl ein Zombie? (Jedenfalls solange, bis man nachschaut - dann ist sie entweder tot oder lebendig!) Und dass ein Quantencomputer daher doppelt so schnell Lösungen errechnet, wenn man nur ein Qubit hinzufügt. Es ist von der  "Supremacy" von Quantencomputern die Rede, ein Wort, das ausdrücken soll, dass wir bald QCs haben werden, die - bei bestimmten Rechnungen - schneller sein werden als der schnellste Supercomputer.  Und damit z.B. die stärksten heute verwendeten Verschlüsselungen im Nu knacken können.

Wenn wir uns mit Bits und Qubits und Qubit-Algorithmen näher beschäftigen, werden wir sehen, was davon zu halten ist und was dahinter steckt. Wenn man es selbst ausprobiert hat, wird man den Zauber schon verstehen. Wenn man die Katze streichelt, merkt man schon, wie lebendig sie ist.

Als nächstes wollen wir sehen, was ein Qubit bedeutet - oder wir schauen uns erst einmal ein einfaches Beispiel eines Q-Algorithmus an, um einen Eindruck zu bekommen, aber ohne es schon verstehen zu müssen. Am liebsten beides gleichzeitig? Mal sehen, wie die Entscheidung ausfällt.

Fortsetzung folgt - Stay tuned

Übrigens, wer Lust hat, kann Fragen, Ideen, Kommentare oder Diskussionen direkt ins Kommentarfeld unter dem Blog schreiben.

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Q2 Etwas ist anders! - Hello Qubit World

Schauen wir uns also als erstes einmal an, wie so ein Qubit-Algorithmus aussieht - auch ohne den schon zu verstehen.

Bekanntlich ist in der Welt der Informatiker, Programmierer, Hacker das erste, was man ausprobiert bei einem neuen System oder einer neuen Programmiersprache, ein "Hello World" zu erzeugen. Das allgemein anerkannte "Hello World" für Quantencomputer sieht allerdings schon etwas ungewöhnlich aus. Es liefert auch nicht die Grußformel, sondern ist nur so etwas wie das einfachste Qubit-Programm. (Natürlich kann man das Ergebnis daraus in der "normalen" Programmierwelt in ein "Hello World" umwandeln.) Wir werden sehen.

Und so sieht es aus, das "Hello World"  der Qubit-Welt:

Sieht eher aus wie ein Ausschnitt aus einer Partitur moderner Musik? Der Vergleich ist gar  nicht so unpassend. Dieser Ausschnitt "orchestriert"  quasi die "Instrumente" eines Quantencomputers, die Qubits.

Am liebsten würde man das Bild sofort erklärt bekommen, aber das heben wir uns für später auf. Man sieht erst mal, ein Q-Algorithmus wird ganz anders dargestellt als üblich. Und dies ist eine einfache Möglichkeit einen Q-Algorithmus als Qubit-Programm grafisch zu beschreiben. (Das ist so ähnlich wie bei Scratch oder Roberta, wo man ein Programm visuell aus einzelnene Bausteinen zusammensetzen kann.) Natürlich kann man statt in der grafischen Form einen Q-Algorithmus auch in Worten beschreiben, wobei man aber sorgfältig mit der Sprache umgehen muss. Oder durch eine Programmiersprache, z.B. Python. Wir probieren das nachher mal.

Versuchen wir mal zu erraten, was die Grafik bedeutet, quasi als Partitur: Es gibt offenbar 2 Instrumente, q1 und q2. Die haben ihre eigene "Linie", auf denen etwas passiert. Klar, das sollen zwei Qubits sein - wobei wir erst in einem späteren Blog erklären, was Qubits sein sollen. Auf den Linien geschieht etwas, nacheinander, mit den jeweiligen Qubits. Was auch immer H macht, es macht es nur mit q1. Danach kommt etwas, dass offenbar q1 und q2 zusammen betrifft.

Am Ende jeder Qubit-Zeile steht eine Art Anzeige-Symbol, wie bei einem Messgerät, mit einem Pfeil nach unten auf die Doppel-Linie C. Tatsächlich, hier wird ein Qubit "gemessen". Und das Messergebnis wird an die C-Linie übertragen. Das "C" steht übrigens für "classical" - nein, nicht "klassische Musik", sondern "klassiches Bit", im Gegensatz zum Quanten-Bit oder Qubit. Danach kommt nichts mehr, es ist Schluß, das "Musikstück" zuende.

Was bedeuten die Zahlen unten auf der C-Linie? Das ist einfach zu erraten: die 2 besagt, dass C die "Messwerte" von 2 Qubits aufnimmt. Die 0, klar, steht für: "Hier kommt der Messwert von Qubit q0." Und die 1 für Messwert von q1 - falls es in einer größeren "Partitur" mal unübersichtlich werden sollte. Und da das C für "classical bit" steht, kann man schon schließen, dass die Messergebnisse herkömmliche Bits sind.

Jetzt wissen wir, was die Teile bedeuten, aber immer noch nicht, was der ganze Qubit-Schaltkreis macht (so nennt man das Gebilde in Anlehnung an herkömmliche elektronische Schaltkreise).

Das liegt daran, dass wir nicht wissen was die beiden blauen Symbole machen. Mal sehen, ob wir das auch noch verstehen können, z.B. indem wir den Hello Qubit World Algorithmus in normaler Sprache formulieren.

Aber jetzt ist es erst mal genug. Pause. Dann weiter lesen.

Cliff-Hanger - Stay tuned

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