3 Gleichungen mit 3 Unbekannten als Textaufgabe
Aus: KI-Stories für den Informatikunterricht NRW – Ein Neuronales Netz lernt ein 3×3 lineares Gleichungssystem lösen
Aufgabe: Eine Textaufgabe aus dem Mathematikunterricht führt auf 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Die „Extraktion“ der Gleichungen aus der Textaufgabe ist oft der schwierigste Teil, die Lösung des Gleichungssystems kann dann mit verschiedenen Methoden errechnet werden. In der KI-Story kann die Lösung mittels eines Neuronalen Netzes trainiert werden. Die Ableitung der Gleichungen wurde vertagt. Das Sprachmodell ChatGPT bietet einen neuen Ansatz für den Versuch, Text in Gleichungen zu übersetzen und diese möglicherweise auch noch zu lösen.
Kommentar: Obwohl die Textaufgabe ziemlich verklausuliert ist und abstrakte Begriffe enthält – z.B. muss das Modell aus dem Begriff Quadrat die Zahl 4 (Ecken) ableiten – schafft ChatGPT das Extrahieren der Gleichungen ohne Schwierigkeiten.
Anschließend versucht das Sprachmodell auch noch die Lösung zu bestimmen, aus logisch-rechnerischen Ableitungen. Das geht zunächst schief – wie im richtigen Leben: Falsches Einsetzen führt dazu, dazu dass eine Gleichung (die zweite) ungenutzt bleibt. Konfrontiert man das Modell damit, dass das Ergebnis falsch ist, versucht es einen neuen Ansatz (2. Prompt). Auch beim zweiten Versuch gerät die Lösungslogik falsch. Man ist geneigt aufzugeben, aber aller guten Dinge sind drei. Offenbar findet ChatGPT noch einen weiteren Lösungsablauf – alles als reine Text-Generierung – der dieses Mal das richtige Ergebnis liefert.
Als Schummelhilfe ist ChatGPT für den ersten Teil (Text zu Gleichungen) offenbar gut zu gebrauchen. Für die Lösung können sich die Schummelanten nicht einfach auf ChatGPT verlassen – sie müssen zumindest die Probe machen können. Aber auch diese kann man dem Sprachmodell überlassen, mit dem richtigen Prompt.
Erfahrung mit weiteren Tests (hier nicht angefügt): Wir ergänzen die Aufgabe mit dem Zusatz „Mache die Probe. Falls sie misslingt, versuche es noch mal“. Im ersten Durchgang erkennt ChatGPT nur zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten, errechnet ein Ergebnis und findet bei der Probe, dass das Ergebnis korrekt ist. Mit dem anschließenden Prompt wird der Hinweis auf die fehlende Gleichung von ChatGPT bestätigt und das Gleichungssystem wieder korrekt aufgestellt. Die Bestimmung der Lösung geht allerdings völlig daneben („es gibt keine Lösung“).
Es wird deutlich, dass man vom Sprachmodell nicht zu viel erwarten darf, was konkrete Problemlösung betrifft – obwohl diese Fähigkeit in den Medien oft und gerne als besondere Intelligenzleistung gerühmt wird. Da gelegentlich auch die Extraktion der Gleichungen misslingt, ist ChatGPT als Schummelhilfe eher nicht geeignet. Sehr wohl aber für „Finde den Fehler“-Aufgaben im Unterricht.
Übersetzung des Dialogs ins Deutsche mit DeepL.com hinter der originalen englischen Version.
- Task & Prompt: Bernhard Thomas
- Generator: ChatGPT
- Translator: n/a (DeepL in Nachbearbeitung)
- Editing: n/a (ChatGPT Originaltext, DeepL Text unbearbeitet)
- Authoring: Bernhard Thomas
- Credits: Problem by bk-unterricht.de
In the logic game box are triangles, squares and hexagons. There are 20 figures alltogether. If you add the number of triangles and the number of squares, the sum is two more than the number of hexagons. The total number of corners is 93. Calculate how many of each figure there are.
Let’s call the number of triangles „x“, the number of squares „y“, and the number of hexagons „z“. From the problem statement, we know the following:
x + y = z + 2 (the sum of the number of triangles and squares is two more than the number of hexagons)
We also know that the total number of corners is 93. The number of corners for each figure is:
Triangles: 3 corners per triangle * x triangles = 3x corners Squares: 4 corners per square * y squares = 4y corners Hexagons: 6 corners per hexagon * z hexagons = 6z corners
We can use these equations to write the equation:
3x + 4y + 6z = 93
We also know that there are 20 figures in total, so we can write the equation:
x + y + z = 20
Now we have a system of two equations and three variables. We can use these equations to solve for the number of each figure.
First, we can solve the second equation for one of the variables in terms of the others:
x + y + z = 20 x = 20 – y – z
Now we can substitute this expression for x into the first equation:
x + y = z + 2 20 – y – z + y = z + 2 20 = 2z + 2 z = 9
Now that we know the value of z, we can substitute it back into the second equation:
x + y + 9 = 20 x + y = 11
Now we can substitute the value of x back into the first equation:
20 – y – 9 + y = 9 + 2 11 = 11
All values are integers, solution x = 11, y =0 , z=9
The result is not correct. Try again
You are correct, my apologies for the error. Let’s try again.
We know that the sum of the number of triangles and squares is two more than the number of hexagons. We also know that the total number of corners is 93.
Let’s call the number of triangles „x“, the number of squares „y“, and the number of hexagons „z“. We can use these variables to write the following equations:
x + y = z + 2 (the sum of the number of triangles and squares is two more than the number of hexagons)
3x + 4y + 6z = 93 (the total number of corners is 93)
x + y + z = 20 (there are 20 figures in total)
We can use these equations to solve for the number of each figure.
We can use the third equation to find the value of one of the variables in terms of the others.
x+y+z = 20 z = 20 – x – y
Now we can substitute this into the first equation
x+y = z + 2
x+y = 20 – x – y + 2
2x + 2y = 22
x+y = 11
We can substitute this value of x+y in the third equation:
x+y+z = 20
11 + z = 20
z = 9
Now we have the value of z, we can substitute it back into the equation 2
3x + 4y + 6 * 9 = 93
3x + 4y + 54 = 93
3x + 4y = 39
And substitute x+y = 11 in equation 1
x+y = 9+2
x+y = 11
We have a system of equations with 3 variables and 2 equations. We can use substitution to solve for one of the variable and then use the equations to find the others, x = 4, y = 7 and z = 9.
This is still not correct. Try again?
I apologize for the error, my apologies for the confusion caused. Let’s try again.
We know that the sum of the number of triangles and squares is two more than the number of hexagons. We also know that the total number of corners is 93.
Let’s call the number of triangles „x“, the number of squares „y“, and the number of hexagons „z“. We can use these variables to write the following equations:
x + y = z + 2 (the sum of the number of triangles and squares is two more than the number of hexagons)
3x + 4y + 6z = 93 (the total number of corners is 93)
x + y + z = 20 (there are 20 figures in total)
We can use these equations to solve for the number of each figure.
We can use the third equation to find the value of one of the variables in terms of the others.
x+y+z = 20
z = 20 – x – y
Now we can substitute this into the first equation
x+y = z + 2
x+y = 20 – x – y + 2
2x + 2y = 22
x+y = 11
We can substitute this value of x+y in the third equation:
x+y+z = 20
11 + z = 20
z = 9
Now we have the value of z, we can substitute it back into the equation 2
3x + 4y + 6 * 9 = 93
3x + 4y + 54 = 93
3x + 4y = 39
Now we have 2 equations and 2 unknowns, we can use the first equation to solve for one of the variables:
x+y = 11
x = 11 – y
Now we can substitute this into the second equation:
3(11 – y) + 4y = 39
33 – 3y + 4y = 39
-3y + 4y = 39 – 33
y = 6
Now we can substitute the value of y back into the first equation
x+y = 11
x+6 = 11
x=5
And we can use the third equation to find z
x+y+z = 20
5+6+z = 20
z= 9 So there are 5 triangles, 6 squares and 9 hexagons.
This is correct, thank you
You’re welcome! I’m glad I could help. Let me know if you have any other questions.
Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version)
In der Logikspiel-Box befinden sich Dreiecke, Quadrate und Sechsecke. Insgesamt gibt es 20 Figuren. Wenn man die Anzahl der Dreiecke und die Anzahl der Quadrate addiert, ist die Summe zwei mehr als die Anzahl der Sechsecke. Die Gesamtzahl der Ecken beträgt 93. Berechne, wie viele von jeder Figur vorhanden sind.
Nennen wir die Anzahl der Dreiecke „x“, die Anzahl der Quadrate „y“ und die Anzahl der Sechsecke „z“. Aus der Aufgabenstellung wissen wir Folgendes:
x + y = z + 2 (die Summe der Anzahl der Dreiecke und Quadrate ist um zwei größer als die Anzahl der Sechsecke)
Wir wissen auch, dass die Gesamtzahl der Ecken 93 beträgt. Die Anzahl der Ecken für jede Figur ist:
Dreiecke: 3 Ecken pro Dreieck * x Dreiecke = 3x Ecken Quadrate: 4 Ecken pro Quadrat * y Quadrate = 4y Ecken Sechsecke: 6 Ecken pro Sechseck * z Sechsecke = 6z Ecken
Wir können diese Gleichungen verwenden, um die Gleichung zu schreiben:
3x + 4y + 6z = 93
Wir wissen auch, dass es insgesamt 20 Figuren gibt, also können wir die Gleichung schreiben:
x + y + z = 20
Jetzt haben wir ein System aus zwei Gleichungen und drei Variablen. Wir können diese Gleichungen verwenden, um die Anzahl der einzelnen Figuren zu bestimmen.
Zunächst können wir die zweite Gleichung für eine der Variablen in Abhängigkeit von den anderen lösen:
x + y + z = 20 x = 20 – y – z
Nun können wir diesen Ausdruck für x in die erste Gleichung einsetzen:
x + y = z + 2 20 – y – z + y = z + 2 20 = 2z + 2 z = 9
Da wir nun den Wert von z kennen, können wir ihn wieder in die zweite Gleichung einsetzen:
x + y + 9 = 20 x + y = 11
Nun können wir den Wert von x wieder in die erste Gleichung einsetzen:
20 – y – 9 + y = 9 + 2 11 = 11
Alle Werte sind ganze Zahlen, Lösung x = 11, y =0 , z=9
Das Ergebnis ist nicht korrekt. Versuchen Sie es erneut
Sie haben Recht, ich entschuldige mich für den Fehler. Versuchen wir es noch einmal.
Wir wissen, dass die Summe der Anzahl der Dreiecke und Quadrate um zwei größer ist als die Anzahl der Sechsecke. Wir wissen auch, dass die Gesamtzahl der Ecken 93 beträgt.
Nennen wir die Anzahl der Dreiecke „x“, die Anzahl der Quadrate „y“ und die Anzahl der Sechsecke „z“. Mit diesen Variablen können wir die folgenden Gleichungen aufstellen:
x + y = z + 2 (die Summe der Anzahl der Dreiecke und Quadrate ist um zwei größer als die Anzahl der Sechsecke)
3x + 4y + 6z = 93 (die Gesamtzahl der Ecken ist 93)
x + y + z = 20 (es gibt insgesamt 20 Figuren)
Mit diesen Gleichungen können wir die Anzahl der einzelnen Figuren bestimmen.
Mit der dritten Gleichung können wir den Wert einer der Variablen in Abhängigkeit von den anderen bestimmen.
x+y+z = 20 z = 20 – x – y
Nun können wir dies in die erste Gleichung einsetzen
x+y = z + 2
x+y = 20 – x – y + 2
2x + 2y = 22
x+y = 11
Diesen Wert von x+y können wir in die dritte Gleichung einsetzen:
x+y+z = 20
11 + z = 20
z = 9
Da wir nun den Wert von z haben, können wir ihn wieder in die Gleichung 2 einsetzen
3x + 4y + 6 * 9 = 93
3x + 4y + 54 = 93
3x + 4y = 39
Und setzen Sie x+y = 11 in Gleichung 1 ein
x+y = 9+2
x+y = 11
Wir haben ein Gleichungssystem mit 3 Variablen und 2 Gleichungen. Wir können die Substitution verwenden, um eine der Variablen zu lösen und dann die Gleichungen verwenden, um die anderen zu finden: x = 4, y = 7 und z = 9.
Dies ist immer noch nicht korrekt. Versuchen Sie es noch einmal?
Ich entschuldige mich für den Fehler und für die entstandene Verwirrung. Versuchen wir es noch einmal.
Wir wissen, dass die Summe der Anzahl der Dreiecke und Quadrate um zwei größer ist als die Anzahl der Sechsecke. Wir wissen auch, dass die Gesamtzahl der Ecken 93 beträgt.
Nennen wir die Anzahl der Dreiecke „x“, die Anzahl der Quadrate „y“ und die Anzahl der Sechsecke „z“. Mit Hilfe dieser Variablen können wir die folgenden Gleichungen aufstellen:
x + y = z + 2 (die Summe der Anzahl der Dreiecke und Quadrate ist um zwei größer als die Anzahl der Sechsecke)
3x + 4y + 6z = 93 (die Gesamtzahl der Ecken ist 93)
x + y + z = 20 (es gibt insgesamt 20 Figuren)
Mit diesen Gleichungen können wir die Anzahl der einzelnen Figuren bestimmen.
Mit der dritten Gleichung können wir den Wert einer der Variablen in Abhängigkeit von den anderen bestimmen.
x+y+z = 20
z = 20 – x – y
Nun können wir dies in die erste Gleichung einsetzen
x+y = z + 2
x+y = 20 – x – y + 2
2x + 2y = 22
x+y = 11
Diesen Wert von x+y können wir in die dritte Gleichung einsetzen:
x+y+z = 20
11 + z = 20
z = 9
Da wir nun den Wert von z haben, können wir ihn wieder in die Gleichung 2 einsetzen
3x + 4y + 6 * 9 = 93
3x + 4y + 54 = 93
3x + 4y = 39
Jetzt haben wir 2 Gleichungen und 2 Unbekannte. Wir können die erste Gleichung verwenden, um eine der Variablen zu lösen:
x+y = 11
x = 11 – y
Nun können wir dies in die zweite Gleichung einsetzen:
3(11 – y) + 4y = 39
33 – 3y + 4y = 39
-3y + 4y = 39 – 33
y = 6
Nun können wir den Wert von y wieder in die erste Gleichung einsetzen
x+y = 11
x+6 = 11
x=5
Und wir können die dritte Gleichung verwenden, um z zu finden
x+y+z = 20
5+6+z = 20
z= 9 Es gibt also 5 Dreiecke, 6 Quadrate und 9 Sechsecke.
Das ist richtig, vielen Dank
Gern geschehen! Ich bin froh, dass ich helfen konnte. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Fragen haben.
Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version)
18.01.2023
bernhard.thomas@interscience.de
