Goethe, Trump und die Mathematik

Zur Bedeutung der Mathematik in der digitalen Bildung

Goethe und Trump in einem Atemzug? Eines der größten literarischen Genies der Geschichte und die Inkarnation der aggressiven Ignoranz  – die haben doch gar nichts gemeinsam, sollte man meinen. In einem Bereich leider doch:  Beide hatten und haben ein sehr distanziertes Verhältnis zur Mathematik und zur mathematischen Wahrheit. Bei Trump, der in einer selbst geschaffenen  narzisstischen Realität lebt, bedarf das vielleicht keiner genaueren Erläuterung, weil man weiß, wie er ganz allgemein mit der Wahrheit und mit  Erkenntnissen der Naturwissenschaften umgeht. Aber Goethe – der  mit seinen naturwissenschaftlichen Studien mehr Zeit verbracht hat als mit seiner Dichtung und dem zum Beispiel seine Farbenlehre besonders wichtig war? Die Elementarmathematik hat Goethe gelten lassen und wohl sogar geschätzt, aber über die „Höhere Mathematik“ und die Mathematiker (und Physiker) hat er gespottet: „Dass aber ein Mathematiker, aus dem Hexengewirr seiner Formeln heraus, zur Anschauung der Natur käme und Sinn und Verstand, unabhängig, wie ein gesunder Mensch brauchte, werd‘ ich wohl nicht erleben.“

Wir wollen der Frage, was Goethe zu dieser Geringschätzung der Mathematik veranlasst hat, hier nicht weiter nachgehen. Uns interessiert vielmehr die Frage, was heute los ist. Heute ist geradezu alles, was in der Welt an prinzipieller und an konkreter Erkenntnis gewonnen und an Innovation erreicht wird, wesentlich durch Mathematik geprägt:  jede technische und naturwissenschaftliche Entwicklung, jedes Gerät, jeder Algorithmus hat zumindest auch eine mathematische Dimension.  Das hat aber nicht etwa zur Folge, dass die heutigen Menschen in ihrer Mehrheit von der Mathematik fasziniert wären - bei den meisten, jedenfalls bei sehr vielen Menschen lösen mathematische Themen auch heute noch eher Unbehagen und unangenehme Erinnerungen an die Schule aus als Interesse und Begeisterung. Und auch heute erlebt man in der Öffentlichkeit, in TV-Shows, in den Medien, ja sogar in der Politik noch immer die augenzwinkernde Koketterie mit dem zur Schau gestellten und durch schlechte Schulleistungen nachgewiesenen Desinteresse  an Mathematik.

Mathematik hat beides, die abstrakte und die angewandte Seite. Für viele Fachleute und Interessenten ist die abstrakte Seite der Mathematik von faszinierender Schönheit. Einer großen Öffentlichkeit hat sich die Schönheit der Mathematik aber gerade in Deutschland nicht vermittelt. Und das mag in der Tat damit zusammenhängen, dass die meisten Menschen im „Land der Dichter und Denker“ Schönheit eher in der Natur, in der Kunst und in der traditionellen Kultur suchen und finden - als in etwas scheinbar Unsinnlichem wie der Mathematik. Und dafür steht eben Goethe und nicht etwa Gauss – auch wenn Daniel Kehlmann mit „Die Vermessung der Welt“  Gauss ein Stück weit ins reale Leben geholt hat.  Die Mathematik als Hochkultur, gar Liebe zur Mathematik – das scheint dann doch eher eine Emotion für einen kleinen Kreis von weltabgewandten Spezialisten zu sein.

Mit der angewandten Seite der Mathematik werden wir dagegen täglich durch eine Fülle  naturwissenschaftlicher Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten konfrontiert. Noch eindrücklicher erleben wir die angewandte Mathematik in diesen Jahren und Jahrzehnten aber in den rasanten Entwicklungen der Technik, insbesondere in der sich immer weiter beschleunigenden Digitalisierung. Die digitalen Entwicklungen bieten faszinierende Möglichkeiten der  Zukunftsgestaltung, in allen technischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen und damit in einer auf vielfältige Weise innovativ geprägten Welt. Aber auch für die persönliche Lebensgestaltung und –vorsorge, etwa durch die individualisierte, datenintensive Medizin der Zukunft, deuten sich großartige Chancen an.  Dass trotz dieser vielversprechenden Perspektiven die digitalen Entwicklungen ethisch und politisch gesteuert und rechtlich kontrolliert werden müssen, sollte gesellschaftlicher Konsens sein. Gerade in  Deutschland haben aber die ängstlichen, überkritischen, bisweilen dystopischen Einschätzungen der Technologieentwicklung ein besonderes Gewicht–  bis hin zum endzeitlichen Bild der Übernahme der Welt durch sich selbst weiterentwickelnde robotische Maschinen. Auch wenn die prinzipiell wertfreien Modelle der Mathematik dabei für beides stehen, für Utopie und Dystopie, sie werden vielen  Menschen eher mit der düsteren als mit der beglückenden Zukunft assoziiert.

Dies sind Beschreibungen, keine Erklärungen für die sich von Mathematik distanzierende Koketterie, das Desinteresse, die Abneigung, den Hass auf die Mathematik. Was sind die Gründe? Ist es vielleicht der (schlechte) Mathematik-Unterricht, der eine positive Beziehung zur Mathematik in so vielen Fällen so nachhaltig stört? Tatsächlich gibt es viele hochkompetente und hochengagierte Mathematiklehrerinnen und –lehrer in deutschen Schulen.  Andererseits hat der Autor es  in seinen Seminaren und bei vielen anderen Gelegenheiten leider immer wieder erleben müssen, dass die Lehrerinnen und Lehrer versuchen, den Schülerinnen und Schülern mathematische Zusammenhänge zu „erklären“, die sie selbst nicht verstanden haben. Und das ist dann wirklich verheerend und meist das Ende jeder mathematischen Bildungsbemühung. Solche gravierenden Fehler werden oft nur von hochbegabten Schülerinnen und Schülern durchschaut.

Auch in diesen Jahren und Tagen spielt das Thema „mathematische Bildung“ wieder eine aktuelle Rolle. Es kommt über die digitale Bildung ins Spiel. Digitale Bildung, darüber sind sich alle Akteure einig, ist eins der wichtigsten politischen Ziele überhaupt, Deutschland hat hier einen extremen Nachholbedarf. Aber sofort stellt sich die Frage: Was sind denn die Ziele  der digitalen Bildung? Wofür sollen die Milliarden €, die seit einigen Jahren den Ministerien, Schulen, Lehrerinnen und Lehrern zur Verfügung stehen, denn ausgegeben werden? Eine einfache (und richtige) Antwort ist: für Vernetzung, für die Ausstattung mit Hardware – darüber wird man sich schnell einig (auch wenn sich die Beschaffung als solche dann vielleicht über Jahre hinzieht und die Geräte schnell wieder veralten). Aber dann? Was sind dann – wenn die Ausstattung vorhanden ist  und die Arbeit anfangen kann – die Inhalte des digitalen Unterrichts? Öffentlich diskutierte Ziele sind insbesondere: Medienkompetenz, Programmierkenntnisse, Grundlagen der Informatik usw. – und immer wieder Medienkompetenz. Von mathematischen Inhalten ist in der öffentlichen und politischen Diskussion kaum die Rede.

Die Substanz alles Digitalen sind die Algorithmen. Aber dass Algorithmen immer auch einen mathematischen Kern haben, wird so deutlich nicht gesagt.  Kurios ist, dass gerade in Deutschland Informatik ein sehr positives Image hat,  Mathematik  aber ein überwiegend negatives. Sachlich ist das nicht begründet: Informatik und Mathematik haben einen großen Überlappungsbereich. Einige meiner führenden Kollegen machen gar keinen Unterschied zwischen den beiden Disziplinen. Und tatsächlich sind es gerade die Algorithmen, von denen man oft gar nicht sagen kann, ob sie eher der Mathematik oder der Informatik zuzuordnen sind. Gerade in den neuesten Entwicklungen wachsen zum Beispiel Algorithmen, die eher mit Daten umgehen und daher traditionell eher der Informatik zugeordnet werden, und Algorithmen, in denen überwiegend gerechnet wird und die daher eher der Mathematik zugeordnet werden, methodisch immer stärker zusammen. Die Algorithmen der Künstlichen Intelligenz und des Maschinellen Lernens sind dafür besonders markante Beispiele.

Insofern eröffnet die systematische Beschäftigung mit den grundlegenden Prinzipien traditioneller und aktueller Algorithmen eine große Chance, die Mathematik von ihrem negativen Image zu befreien und Mathematik und Informatik als zwei Seiten einer Medaille zu begreifen. Und wenn dieses Zusammenspiel schon in der Schule praktiziert und verstanden wird, hat Deutschland auch eine Chance, methodisch Anschluss an die internationale digitale Entwicklung zu finden.


Q-IBM - Wie man Zugang zum IBM Quanten-Computing bekommt

Die Qubit-Algorithmen dieser Blog-Serie zu verstehen und nachzuvollziehen macht mehr Spaß, wenn wir sie selber erstellen und laufen lassen können. Das geht mit IBM Quantum Experience, einer frei zugänglichen Umgebung, in der man Qubit-Circuits entwerfen und testen kann. Testen auf einem Simulator oder sogar echten IBM Quanten-Computern.

Wie kommt man da dran?

Zugang zur IBM Quantum-Computing-Umgebung

Es findet wie heute üblich, alles im Browser statt (Web-Application). Gesonderte Apps für Smartphone und Tablet gibt es für IBM Q Experience Apps (noch) nicht. Und über den Browser geht es dort nicht so richtig gut. Es wird also ein "richtiges" Gerät -  PC, Laptop, Mac oder ähnliches - empfohlen.

Im Browser gibt man ein
https://quantum-computing.ibm.com/login

Man sieht ... alles auf Englisch, natürlich! Daher ein paar Hinweise.

Beim ersten Mal muss man sich zunächst registrieren. (Später wird man direkt auf seine aktuelle Arbeitsumgebung geführt (s. Dashboard, unten)). Zum Registrieren dient der Link hinter "Create an IBM Account". Damit startet man die Registrierung. Ist erkennbar, dass der Link von einem deutschsprachigen PC aufgerufen wurde, findet der weitere Dialog auf Deutsch statt: "Bei IBM anmelden". "Sie haben noch kein Konto?" - Genau! Deshalb geht es dort weiter: Link "IBMId erstellen" (Die IBMId wird dann bei weiteren Login's gebraucht.)

Nun wird es wieder Englisch: "Sign up for an IBMId" ist die Seite, auf der E-mail, Name und Passwort und Land (Germany) eingegeben werden. Mit "Next" geht's weiter zu "Verify email", d.h. zur Überprüfung, ob die E-mail Adresse gültig ist und im rechtmäßigen Besitz des Users. Es wird dazu ein 7-stelliger Code an die eingetragene E-mail Adresse geschickt.  Also, in der Mailbox nachsehen und die 7 Zeichen in die kleine Box "Verification token" eintragen. Anschließend endlich "Create account" (Konto erstellen) anklicken. Dann erscheint - unvermeidbar - erst noch die Einwilligung zum IBM Konto Datenschutz. Mit "Proceed" bestätigen, und dann ist es schon geschafft.

Danach kann man die Kontoinformationen (E-Mail Adresse, Password) zum Login verwenden: Link-Adresse wie oben und dann auf "Bei IBM anmelden" die E-mail-Adresse eingeben und "Weiter". Wenn gewünscht, kann man vorher das Kästchen "Merken" ankreuzen. Dann noch das Passwort unter "Kennwort" eingeben. Und schon ist man drin!

Halt - nein! Beim ersten Mal muss man noch das IBM Quantum End User Agreement ankreuzen und "Accept & continue" klicken. Das ist halt so üblich, dass man die "Geschäftsbedingungen" akzeptiert. Und wie bei (kosten-)freien Diensten üblich, wird man anschließend gebeten, etwas über sich preis zu geben. "Your institution" ist ein Muss (Sternchen-Feld): hier gibt man  z.B. die Schule an oder irgendwas. Der Rest ist optional: Drop-down Auswahl über seine Vorkenntnisse mit "quantum", Freitext-Feld um anzugeben, was man mit IBM Q Experience machen will, und Auswahl-Liste, welche Informationen man zu IBM Q Experience erhalten will (per E-mail).

Dann endlich "Continue" und jetzt ist man (fast) drin. Wo drin?

Erscheinungsbild (User Interface) der IBM Quantum-Computing-Umgebung

Anfangs oder immer wieder beim Login wird man mit einem Fenster konfrontiert, das uns ein "Get started" Tutorial anbietet. Nicht schlecht, das mal durchzugehen, wenn man Zeit hat oder schon ein wenig mit dem Circuit Composer "gespielt" hat. Mit "Close" lehnen wir das Angebot ab.

Wenn man seine Zugangsdaten gespeichert hat und den gleichen Browser benutzt, wird man schon direkt auf seine aktuelle Arbeitsumgebung geführt (s. Dashboard, unten).

Anm.: Es ist natürlich alles auf Englisch, von daher erfordern die Tutorials und weitere Dokumente möglicherweise Englischkenntnisse, die über das schulische Niveau einer Mittelstufe hinausgehen.

Das User Interface öffnet sich mit einer Welcome-Seite. Neben der Begrüßung findet man dort einige Informationen über das, was man schon gemacht hat: Welche Circuits, welche Ergebnisse (results) anstehen (pending), welche zuletzt angefallen sind (Latest).

Spannend ist die Liste rechts der gerade verfügbaren "Backends". Das sind die Quanten-Computer, die weltweit zur Verfügung stehen (online). Zu jedem Eintrag gibt es Informationen darüber, wo er steht, wieviel Qubits er hat - und wieviel "Jobs" (Programmausführungen) in der Warteschlange stehen. Am Ende der Liste ist der "virtuelle" Quanten-Computer aufgeführt, der ibmq_qasm_simulator, den man aktuell mit bis zu 32 Qubits nutzen kann.

Diese Informationen sind umrahmt von einer Menüleiste mit teilweise kryptischen Symbolen. Die Menüleiste befindet sich links (s. Bild unten).

Einige Menü-Punkte des User Interfaces

Oben in der Ecke deuten drei waagerechte Striche an, dass man hiermit das Menü ausklappen kann, so dass man sehen kann, was die Symbole bedeuten. Hier einige kurz erläutert:

  • Dashboard: So heißt die Welcome Seite
  • Tools | Circuit Composer: Enthält im Kern den grafischen Circuit Composer mit den möglichen Gates und den (einstellbaren) Qubit / Mess-Bit Linien. Seit August 2020 sind hier noch eine ganze Reihe weiterer Widgets (Fensterchen) mit dargestellt.
    • Das für Messergebnisse (Measurement Probabilities) ist für die Blog-Serie interessant.
    • Statevector (Zustandsvektor) zeigt die (theoretischen) Faktoren an (als farbige Säulen), mit denen die verschiedenen Basiszustände in einer Superposition vertreten sind, so wie sie vom Qubit-Algorithmus gerade erzeugt wird. In der Blog-Serie auch als Koordinaten bezeichnet. Im Fachjargon des Quanten-Computing spricht man auch von der Amplitude.
    • Rechts gibt es noch einen Bereich für Dokumente und Tutorial-Empfehlungen. Alternativ (Tabs direkt darüber) kann man sich hier den QASM Skript-Code zur Grafik anzeigen lassen und verändern, oder die aktuelle Job-Übersicht.
    • Das ist leider ziemlich viel auf einmal und wird gegenüber der Vorversion leicht unübersichtlich für unsere Zwecke. Aber man gewöhnt sich daran und kann über den Menüpunkt View einiges "abwählen".
    • Die einzelnen Menüpunkte oben in der Leiste mit ihren Unter-Optionen muss man Zug um Zug kennenlernen. Zuviel, um das alles hier zu erklären. Es wird sicher auch deutschsprachige Tutorials dazu geben.
  • Tools | Quantum Lab: Der Bereich, in dem man Qubit-Algorithmen in Form von Python-Notebooks und mit Verwendung der Qubit-Programmbibliothek Qisqit erstellen und managen kann. Wir hatten ein Beispiel dafür im Kommentar zu Blog Q8.
  • Tools | Results: Zeigt die Übersicht der Resultate von QC-Jobs an.
  • Resources | Docs und Support: IBM Q Experience Dokumentationen, Tutorials und Zugang zu Q&A und anderen Support-Formen.

Der Circuit Composer in Kurzfassung

Ein kurzer Blick auf den Circuit Composer. Er erscheint innerhalb des User-Interfaces mit seiner Menüleiste am linken Rand, wie oben erklärt.

  • Der Circuit Composer hat eine eigene Menüleiste, waagerecht oben im Widget.
  • Im oberen Bereich (Widget) hat man die "Partitur". Die Gates und die Qubit- und Messbit-Linien. Natürlich kann man diese einstellen über Edit.
  • Darunter hat man weitere Widgets, z.B. die Measurement Probabilities, also die theoretische Vorhersage der Messergbnisse. Oder den "Zustandsvektor", der den (Superpositions-) Zustand des Qubit-Systems zeigt. Gezeigt wird der Zustand, der am Ende des Circuits resultieren würde. Alle nicht benötigten Widgets kann man "verstecken", z.B. über View.
  • Über Run Settings und Run on ... kann man den Qubit Circuit starten.
  • Die Ergebnisse findet man unter Jobs, einer von 3 Inhalten, die man in einem Widget ganz rechts darstellen kann. (Im Bild ausgeblendet.) Die anderen beiden enthalten Dokumentationen und Hinweise (Docs) und das QASM Code-Skript zum aktuellen Circuit.
  • Zwischen oberer Menüleiste und den Gates-Symbolen findet man eine typische Pfadangabe: Verzeichnis/Datei. Hier Circuits/Untitled Circuit. D.h. für den gezeigten Circuit haben wir noch keinen Namen vergeben. Das kann man mit dem Stift-Symbol ändern. Der Stift erscheint, wenn sich der Mauszeiger über den Circuit Namen befindet. Das Verzeichnis Circuits ist das Standard-Verzeichnis, in dem man alle seine gespeicherten Circuits (saved) wiederfindet.
  • Die Details und Unterpunkte findet man am besten heraus, indem man sie ausprobiert. Allerdings muss man sich mit einigen englischen Begriffen vertraut machen - was aber nicht so schwierig sein sollte, da die meisten ohnehin auch schon im deutschen Sprachgebrauch verwendet werden.

Wenn diese Zusatzinformation aus dem Kontext von Q8 heraus aufgerufen wurde: hier gehts zurück zu Q8.

 


P.S. zum Brief an einen Freund in der Corona-Krise

P.S. zum Brief an einen Freund in der Corona-Krise

Angesichts der explodierenden Fülle von Corona-bezogenen Artikeln in allen Medien - wie kann man da relevante von irrelevanten bis hin zu gezielt irreführenden „Beiträgen“, wie kann man Wahrheit von Unsinn und Unwahrheit unterscheiden? Das kann sehr mühsam sein: Um einer systematischen Unterscheidung willen müsste man die Artikel erstens lesen, zweitens ihre Relevanz untersuchen und sich drittens in vielen Fällen auch noch intensiv mit den Inhalten auseinander setzen. Das kostet Zeit, bringt selten bedeutsame Erkenntnis und erzeugt am Ende oft nur Ärger und Frustration. Ich selbst habe es deshalb aufgegeben, mich mit der Informationsflut zu befassen, mit der die Medien (und meine Mailbox) täglich überschwemmt werden. Dass dabei dann auch kluge, lesenswerte Beiträge ungelesen bleiben, das nehme ich in Kauf. Meine reale Informationsquelle sind die Zeitungen und Zeitschriften, von deren Solidität und Unabhängigkeit ich mich in vielen Jahren überzeugen konnte. Dass auch in diesen Organen die inhaltliche oder redaktionelle Qualität der Beiträge bisweilen drittklassig ist, auch das nehme ich in Kauf.

Mir ist im übrigen sehr bewusst, wie privilegiert ich als Wissenschafter bin: Als langjähriges Mitglied im Vorstand des Kuratoriums der Wissenschaftspressekonferenz (WPK) habe ich großes Vertrauen in die Arbeit der WPK-Mitglieder. Meine wichtigste Informationsquelle sind und bleiben schließlich die vielen hoch qualifizierten Kollegen aus allen Fakultäten, die ich im Laufe meiner wissenschaftlichen Arbeit und als Forschungsmanager kennengelernt habe. Diese Kollegen kann ich jederzeit ansprechen oder anrufen, wenn ich selbst im Zweifel bin oder Fragen habe.


Offener Brief an einen Freund in der Corona-Krise

Lieber Freund,

die Corona-Krise hat uns voneinander entfernt. Du hast, gleich nachdem Bund und Länder die harten Maßnahmen des Social Distancing und des Shutdown beschlossen hatten, gegen die Maßnahmen protestiert und zum öffentlichen Protest (auf Deiner Webseite) aufgerufen. Es war für Dich klar und Du hast von mir erwartet, dass ich - als Mathematiker - Dich in Deinen Bemühungen, den Protest öffentlich zu machen, unterstützen würde.

Für mich war die Sache so einfach nicht. Auch ich war über manche der öffentlichen Äußerungen von Experten und Politikern in Talkshows und auf Pressekonferenzen bisweilen irritiert. Die Gefährlichkeit des Virus wurde z.B. oft durch Zahlen und Kurven belegt, die ich als Mathematiker für unverständlich und irreführend halte. Von Beginn der Krise an war die Datenbasis unzureichend und unübersichtlich und die Statistik infolgedessen äußerst fragwürdig; die Interpretation des Zahlenmaterials durch die Medien erschien mir bisweilen durchaus willkürlich. (Einige der Fragen, die sich mir stellten, habe ich schon an anderer Stelle veröffentlicht.) Trotz dieser Fragen hatte ich nie Zweifel an der unbestreitbar hohen Kompetenz der erstklassigen Experten, über die wir in Deutschland verfügen. Einige kenne ich auch persönlich; sie geben ohne Zweifel ihr bestes, um die Situation realistisch einzuschätzen und die aktuellen Probleme zu bewältigen. Dass es auch unter Experten immer mal wieder Selbstdarsteller gibt, denen ihr Auftritt und ihre Wirkung wichtiger ist als die Sache - das ist nun einmal leider so. Insgesamt war und bin ich aber überzeugt, dass wir mit unseren Experten höchst zufrieden sein können.

Dass die von der Bundesregierung und den Ländern getroffenen Maßnahmen hart waren, was die Wirtschaft, die Arbeitswelt, die Gesellschaft als Ganzes, das öffentliche und das private, familiäre Leben angeht, ist auch unbestreitbar. Und dass gerade jetzt, wo es um eine vorsichtige Öffnung geht, manche Einzelentscheidungen schwer zu verstehen und fragwürdig sind, auch das kann ich den Kritikern gern zugestehen. Aber dass unser Rechtsstaat bedroht sei und die Gefahr bestünde, einige unserer grundgesetzlich garantierten Rechte könnten uns auf Dauer abhanden kommen - das sehe ich überhaupt nicht. Jeder Verantwortliche weiß, dass wir uns in einer extremen Ausnahmesituation befinden und dass die Maßnahmen nur durch diese Ausnahmesituation gerechtfertigt sind. Einzelne Maßnahmen können trotzdem grundsätzlich oder praktisch falsch sein; und es kann dringend erforderlich sein, solche problematischen Maßnahmen nachträglich einer juristischen oder parlamentarischen Kontrolle zu unterziehen.

Während die Gefährlichkeit der Pandemie und die Angemessenheit der Maßnahmen in vielen  Bereichen noch diskutabel sein mögen -  bei den meisten der absurden Gerüchte und abwegigen Verschwörungstheorien, mit denen die Öffentlichkeit seit Wochen überschüttet wird, hört für mich jede Toleranz auf. Besonders empören mich die Darstellungen im Internet, die von angeblichen Experten in einer Weise verbreitet werden, dass der Laie kaum eine Chance hat, sie von fundierten Aussagen kompetenter Experten zu unterscheiden. Und ich kann auch solche Plattformen nicht akzeptieren, die sich "offen" geben und zwischen relevanten und subtil diffamierenden Beiträgen nicht differenzieren. Solchen Diffamierungen sind manche untadeligen, hochkompetenten Wissenschaftler (wie z.B. Christian Drosten) und weltweit engagierte Philanthropen (wie Bill Gates) ausgesetzt. Unerträglich.

Es ist mir wichtig, Dir meine Sicht der Dinge zu erklären. Ich sehe mich als Wissenschaftler der Wahrheit verpflichtet. Dabei ist mir bewusst, dass Wahrheit ein großes Wort ist und die Wahrheit oft schwer zu erkennen ist. Aber wo man die Unwahrheit kennt oder erkannt hat, gibt es keine Rechtfertigung, sie zu verbreiten.

Ich weiß, dass wir uns beide der Wahrheit in diesem Sinne verpflichtet fühlen.

Dein Ulrich


Q8 Fingerübungen - Einfache Qubit Algorithmen ausprobiert

Wir wissen nun, was ein Qubit ist. Genauer, wie man ein Qubit modellieren kann - aber wir wollen uns ein wenig sprachliche Vereinfachung zugestehen, solange wir uns darüber im Klaren sind. Fassen wir noch einmal zusammen:

Ein Qubit ist ein Konstrukt, das einen Zustand hat, der durch Operatoren  beeinflusst wird, und der über ein Messverfahren einen binären Wert liefert (Bit). Der Zustand ist aus einer kontinuierlichen (unendlichen) Menge.  Wiederholte Messungen bei gleichem Zustand liefern eine Häufigkeitsverteilung über die binären Werte, die man als Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Zustand zuordnen kann.

Wir legen fest, dass die Operatoren den Zustand determiniert beeinflussen, mathematisch also eine Abbildung darstellen. D.h. gleicher Operator angewendet auf gleichen Zustand liefert gleiches Ergebnis (neuer Zustand). Für das Messverfahren gilt das natürlich nicht. Wohl aber für die Zuordnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einem Zustand.

In diesem Sinne ist ein klassisches Bit auch ein Sonderfall eines Qubits. Wieso?

Für die konkrete Beschreibung von Qubits verwenden wir (einfache) mathematische Ausdrücke: Die Zustände beschreiben wir durch die Koordinaten (x,y) eines Punktes auf dem Einheitskreis in der x-y-Ebene. Die binären Messwerte bezeichnen wir mit 0 und 1. Für die Punkte, die einen Zustand repräsentieren, verwenden wir gelegentlich "Namen" anstelle der Koordinaten; das macht manchmal das Lesen einfacher. Insbesondere sind folgende Bezeichnungen in der Qubit-Welt üblich: |0> für (1,0), |1> für (0,1) - also für die Punkte des Einheitskreises, die auf den positiven Koordinatenachsen liegen. (Diese Zustände hatten wir beim ZBIT-Modell mit [00] und [11] bezeichnet. Die etwas ungewöhnliche | >-Schreibweise erklären wir später. ) Damit kann man einen Zustand (x,y) auch als Kombination von |0> und |1> schreiben:  x|0> + y|1>.

Ein typischer Sprachgebrauch in der Qubit-Welt ist z.B. "das Qubit |1>" an Stelle von  "das Qubit im Zustand |1>".  Kein Problem, wenn klar ist, was gemeint ist. "Namen" für die Qubits sind wie herkömmliche Variablen-Namen zu verstehen und werden in den Composer-Grafiken links vor die zugehörige Linie gestellt. Sie sind der Einfachheit halber durchnummeriert. Entweder als q0, q1, usw. oder im Stile von Python-Listen als q[0], q[1] usw., also mit eckigen Klammern.

Ein weiterer häufig anzutreffender Begriff für die x-y-Kombination der beiden Basiszustände ist "Superposition", übersetzt als "Überlagerung", von |0> und |1>. Ein leicht mysteriös klingender Begriff für die Kombination der beiden Zustände. Der stammt aus der Physik und wird in der Mathematik übrigens Linearkombination genannt.

Wie wir in Q7 gesehen haben, ist für x|0> + y|1> dann |y|²  die Wahrscheinlichkeit p(1) für den binären Wert 1 bzw. |x|²=1-|y|² die für 0 bei der Messung des Qubits in diesem Zustand.

Man kann damit den Messvorgang, genauer, den wiederholten Messvorgang, auch als einen Operator darstellen, der Zustände (x,y) in Häufigkeiten von Bits überführt:

M(x,y) = M(x|0> + y|1>) = ( |x|², |y|²).

Bei Mehr-Qubit-Zuständen wird das, wie wir sehen werden, eine hilfreiche Darstellung. Wir bezeichnen M nicht als Gate, weil wir Gates für Übergänge von Zustand zu Zustand reservieren wollen, ( |x|², |y|²) aber kein Qubit-Zustand ist, sondern Wahrscheinlichkeiten für Bit-Ergebnisse.

Woher wissen wir, in welchem Zustand sich ein Qubit befindet? Man wählt |0> als Ausgangszustand, herstellbar durch die Operation R. Wenn wir anschließend weitere Operatoren anwenden, liefert jeder einen determinierten Folgezustand. Wenn wir die Wirkung der Operatoren berechnen können, wie in Q7 für X, H usw., können wir die Zustände nachverfolgen, wissen also bei der Messung, welcher Zustand vorliegt - auch wenn die Messung selbst nur ein Bit (0 oder 1) liefert. Dies ist ein wichtiges Prinzip, um Algorithmen für Qubits formulieren zu können.

1-Qubit Beispiele

Das wollen wir im Folgenden für einige erste kleine Beispiele mit einem bzw. zwei Qubit(s) tun und diese gleich auch auf einem Qubit-Computer realisieren.

Für einen Qubit Computer (physikalisch oder als Simulator) müssen wir fordern, dass wir die physikalischen Entsprechungen der Qubit-Operatoren so konstruieren können, dass sie - in wiederholten Messungen -  Häufigkeiten eines binären Ergebnisses liefern, die der Wahrscheinlichkeit von 0 und 1 in dem Operator-generierten Zustand entprechen. Klingt kompliziert, ist es auch. Aber wir machen nichts falsch, wenn wir darauf vertrauen, dass die Quantencomputer-Konstrukteure dafür gesorgt haben.

In Q7 u.a. hatten wir schon einige 1-Qubit Algorithmen in der Form R --- X --- H --- M oder ähnlich formuliert. Diese Schreibweise kommt der grafischen Darstellung im "Composer" (Komponisten) der IBM Q Experience Umgebung schon sehr nahe. Wir probieren es einfach und lassen die "Partitur" vom Simulator ausführen. (Wie man Zugang zur IBM Quantencomputing-Umgebung bekommt, wird in diesem Blog beschrieben. Besser noch, man findet es selbst heraus. Hier ist der Link zum IBM Q Login.) Es ist wirklich zu empfehlen, diese Erfahrung "in echt" zu machen (s. Q2). Statt des Simulators kann man zur Ausführung auch einen der verfügbaren echten Quantencomputer auswählen!

1. R--- X --- H --- M

Algorithmus im Composer-Format
Ergebnis einer Serie von 1024 "Shots"

Das Ergebnis zeigt die Häufigkeiten von 0 und 1 (interpretiert als klassische Bits) bei einer Serie von 1024 Durchläufen.  Die Legende der State-Achse ist für die gleichzeitige Messung von 5 Qubits ausgelegt, daher die 5-stelligen Bit-Ketten. Das Bit rechts kommt aus der Messung des Qubit Nr. 0, dem obersten im Composer, wenn wir mehrere Qubits haben. Dass die Achse mit "state" (Zustand) bezeichnet wird, ist etwas verwirrend. Gemeint ist bestenfalls der "Ausgabezustand".

Nicht ganz zufällig gibt es die hier schon verwendeten Operatoren X und H auch beim Qubit-Composer. Im Qubit-Sprachgebrauch werden die Operatoren Gates genannt, zu deutsch Gatter. Die Gates werden auf Wires (Leitungen) positioniert. Und die "Partitur" wird  in der Qubit-Welt Circuit (Schaltung) genannt. Am Anfang eines Qubit-Wire ist das Qubit auf den Ausgangszustand |0> gesetzt. Das Symbol (Gate) dafür im Composer ist nicht R sondern einfach |0>. Die beiden Gates auf dem Wire von Qubit q[0] heißen X-Gate oder NOT-Gate, weil es den Qubit-Zustand umkehrt,  und Hadamard-Gate (H-Gate), benannt nach dem französichen Mathematiker J. Hadamard. Die Wirkung hatten wir in Q7 bereits formelmäßig definiert.

Als ein anderes Beispiel nehmen wir aus Q7 "Vorhersagen und Erklärungen" die Nummer 8.

2. R ---- G60 ---- H ---- H ---- M

Composer-Bild für Beispiel 8 in Q7
Ergebnis bei 1024 Wiederholungen. Vgl. Q7/8.

Es fällt auf, dass wir bei der QBIT-Box das Dreh-Feld mit G bezeichnet haben, im Composer aber ein neues Gate Ry(2*pi/3) verwendet haben. Mit G hatten wir in Q7 den Dreh-Operator vereinfacht. So wie wir G definiert hatten, entspricht dem das Rotations-Gate Ry mit dem Paramterwert θ=2*pi/3. Man sieht in der Tabelle am Ende von Q7, dass dieses θ dem Winkel w=60º entspricht. (Die Gates in den Composer- bzw. Programmier-Umgebungen orientieren sich an einer anderen Zustandsbeschreibung, die dazu führt, dass der Winkel, den wir für Drehungen auf dem x-y-Einheitskreis definieren, in der Composer-Beschreibung verdopplet werden muss.)

3. R --- G30 --- X --- M vergleichen wir mit R --- G30 --- M, um die Wirkung von X zu verifizieren. Hier müssen wir, wie eben erklärt, für G30 das Gate Ry mit pi/3 parametrisieren. Wir verzichten dabei auf die Histogramme und notieren stattdessen nur die Häufikeiten der Messergebnisse.

a) 30 Grad Drehung und X: 23.633% 0, 76.367% 1
b) 30 Grad Drehung ohne X-Gate: 75.00% 0, 25.00% 1

Man sieht also sehr schön den Effekt eines X-Gates aus der wiederholten Messung: Es vertauscht die Zustandskoordinaten. Für die Basis-Zustände ergibt sich daraus: X: |0> -> |1>, d.h. (1,0) -> (0,1), und umgekehrt. Wir merken an, dass wir hier wieder von den Messergebnissen (Bits) auf den Zustand (Qubit) nach Anwendung der Gates schließen. Die Messergebnisse sind nicht der Zustand!

4. R --- Gw --- M. Das Diagramm der QBIT-Box Experimente in Q7 (blaue Punkte) ist natürlich auf diese Weise (3b) entstanden! Das w durchlief alle Werte von 0º bis 360º (das entspricht θ=2*pi) in 15º-Schritten. Für jedes w wurde ein Cirquit der Form 3b) erzeugt, der jeweils 50 Mal durchlaufen wurde. Die Häufigkeiten von 1 (das entspricht dem L) wurden in die Grafik eingetragen. Das Ganze wurde natürlich in Form eines kleinen (Python-)Programms durchgeführt. Im Kern einer Schleife über die verschiedenen Winkel steht dabei das Python-Pendant zum Composer Circuit:

## Circuit definieren 
q_box = QuantumCircuit(q, c) 
rot = k*2*pi/m 
q_box.ry(rot,q) 
q_box.measure(q[0], c)

Etwas ausführlicher wird das Programm in einem Kommentar zu diesem Blog gezeigt.

2-Qubit Beispiele

Bevor wir uns theoretisch mit Zwei- und Mehr-Qubit Kombinationen befassen, probieren wir einfach einmal ein paar Beispiele mit dem Composer praktisch aus. Wir müßten dazu natürlich auch unsere einfache Schreibweise für Qubit-Algorithmen erweitern, etwa zwei Zeilen untereinander. Das stimmt aber ziemlich genau mit den Composer Grafiken überein, die wir bereits in Abschnitt Q2 erkundet hatten. Daher formulieren wir die kleinen Algorithmen gleich als Circuit.

5. Probieren wir es mal mit

und versuchen zu verstehen, was wohl als kombiniertes Messergebnis herauskommen wird. Der Ausgangszustand von Qubit 0 (q0-Wire) wird mit X zu |1> und dann gemessen. Qubit 1 (q1-Wire) wird sofort gemessen, bleibt also im Zustand |0>. Grundsätzlich gibt es 4 mögliche Messergebnisse, nämlich die vier 2-Bit Kombinationen 00, 01, 10, 11. Das Ergebnis hier ist natürlich 100% 01.

Zur Erinnerung (an Abschnitt Q2): Auf der c-Linie kommen die Messergebnisse an - in Form von klassischen Bits (c für classical). Die 5 deutet an, dass die c-Linie die Ergebnisse von bis zu 5 Qubits aufnimmt (s. Histogram nächstes Beispiel), auch wenn wir hier nur 2 Qubits verwenden.

6. Etwas schwieriger:

Hier wird q0 zunächst geswitcht und dann mit dem Hadamard-Gate transformiert. D.h. |0> wird zu 1/√2 (|0> - y|1>), oder in Koordinaten wie in Q7 zu 1/√2(1,1). Die Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 als Messergebnis sind damit 1/2. Für q1 wird nach H der Zustand 1/√2 (|0>+y|1>) gemessen, was die gleichen Wahrscheinlichkeiten für Qubit 1 ergibt. Was ist also das Gesamtergebnis (1024 "shots")?

 

 

 

 

Hier zählen nur die zwei rechten Bits, so dass also die experimentellen Häufigkeiten um den zu erwartenden Wert 0.25 schwanken. (Die Konvention ist, das Bit-Ergebnis von q0 immer ganz rechts zu schreiben.)

7. Das Hello Qubit World Beispiel aus Q2 sah als "Partitur" so aus:

Hier finden wir nach dem H ein neues Gate, das offenbar zwei Qubits miteinander in Beziehung bringt. Das ist das Controlled-Not-Gate, auch als CNOT oder CX bezeichnet. Es beeinflußt q1 - da, wo das + im Kreis steht - in Abhängigkeit vom Zustand des Qubit q0. Genauer: wenn q0 im Zustand |1> ist, kehrt sich q1 um - hier also von |0> nach |1>. Ansonsten bleibt der Zustand von q1 unverändert, also hier |0>.

Schauen wir uns das Ergebnis an (1024 shots).

Das Histogramm zeigt nur positive Werte für die 2-Bit Messergebnisse 00 und 11, zu jeweils ziemlich genau 50%. Die beiden anderen, 01 und 10, kommen bei Messungen nicht vor.  Das hat verschiedene Konsequenzen, auf die wir später noch eingehen werden. Hier stellen wir erst einmal fest, dass das CNOT-Gate offenbar die beiden Qubits "gleichschaltet". Aber Achtung - nur bezüglich der Messergebnisse! Beide sind nach diesem Circuit entweder 0 oder 1, und was, das bestimmt q0. Um über die Zustände zu sprechen, müssen wir wieder unser Modell bemühen.

Damit können wir das Ergebnis noch besser verstehen: durch das Hadamard-Gate geht der q0-Zustand in die Kombination von |0> und |1> über, jeweils mit Anteil 1/√2. Daher ergibt sich der neue Zustand von q1 nach der CNOT-Regel als Kombination von |0> (unverändert) und |1> (verändert) mit den entsprechenden Anteilen von 1/√2. Und q1 kann nur 0 ergeben, wenn sein Zustand sich nicht geändert hat, also wenn q0 das Ergebnis 0 liefert. Andernfalls hätte sich q1 umgekehrt und würde 1 liefern. Das erklärt - in Worten - warum 01 und 10 nicht als Messergebnis auftreten können. Im nächsten Blog werden wir das "nachrechnen".

Die "Gleichschaltung" der beiden Qubits durch diesen Circuit bedeutet u.a., dass wir wissen können, welchen Messwert das andere Qubit hat, wenn wir nur das eine gemessen haben. Wir können aus einer Messung das Ergebnis beider Messungen erschließen! Das wirkt zunächst einmal ungewöhnlich und führt zu teilweise "geheimnisvollen" Deutungen. Doch davon später.

Ein kleiner Ausflug: Die Wires sind so etwas wie die "Lebenslinien" der beiden Qubit-Variablen q0 und q1. Sie beginnen beide in einem Anfangszustand und "enden" durch Messung. Mit etwas Phantasie kann man auch klassische Algorithmen als Composer Diagramm darstellen.

Pythogoras-Algorithmus in Compser-Form

Zum Beispiel kann man die Berechnung der Hypothenusenlänge nach dem Satz des Pythagoras a²+b²=c² so in Composer-Form darstellen. Dabei sind a,b,c die Variablen, 3 ,4, 0 die Anfangszustände, Q ist die Quadrat-Operation, W die Wurzel, und das Konstrukt in der Mitte mit dem S auf dem c-Wire ist die Summenbildung der Variablen auf den beiden oberen Wires im aktuellen Zustand. Die Messoperation ist hier P, für print. Auch hier "beobachtet" man nur die Anfangszustände und die print-Ausgaben. Noch enger ist die Analogie, wenn man sich das P "destruktiv" vorstellt,  d.h. die Variablen werden nach Ausgabe "gelöscht" oder auf Null gesetzt. Insgesamt also eine schöne Algorithmen-Analogie zum Verständnis der Composer-Diagramme.

An dieser Stelle ist erst einmal wieder eine Pause fällig. Wir haben Beispiele für kleine 1- und 2-Qubit Algorithmen untersucht und mittels Quantencomputer-Simulator praktisch ausprobiert. Außerdem haben wir zwei neue Gates kennen gelernt: als Entsprechung für unser G (Dreh-Feld) bei der QBIT-Box das Ry-Gate und das CNOT, das zwei Qubits verbindet. Und eine ganze Reihe neuer Begriffe, die im Sprachgebrauch der Qubit-Algorithmik verwendet werden. Es ist wieder hilfreich, sich eine tabellarische Übersicht zu machen und im weiteren Verlauf zu ergänzen. Der Anfang sei hier gemacht.

Begriff englisch Begriff deutsch Bedeutung
Composer Composer Tool bzw. Form zur grafischen Darstellung von Qubit-Algorithmen
Circuit Schaltkreis Qubit-Algorithmus
Wire Wire (Leitungen) Algorithmische "Lebenslinie" eines Qubits
Gate Gatter Qubit-Operator in einem Algorithmus
Paramter Parameter Gates wie Ry können eine Parameter haben, z.B. einen Drehwinkel.
|0>, |1>, |a> |0>, |1>, |a> Schreibweise für Qubit-Zustände, alternativ zu Koordinaten
Basis Basiszustand Hier |0> oder |1>
Superposition Überlagerung (Linear-)Kombination von Qubit-Zuständen, meist von |0> und |1>
Hadamard-Gate H-Gatter Spezieller Superpositionsoperator
M Operator M Operator Mess-Operator, berechnet aus Qubit-Zuständen Wahrscheinlichkeiten von Bit-Ergebnissen
Classical Bit Klassisches Bit Messergebnisse werden als Bits / Bit-Ketten ausgegeben
c-Wire c-Wire Wire, das die Messergebnisse aufnimmt (Bit-Ketten)
Initial State Anfangszustand Jedes Qubit beginnt im Zustand |0>
Ry-Gate Ry-Gatter Eine bestimmte Art der Drehung, vergleichbar mit dem G im ZBIT-Modell
shots shots Anzahl Durchläufe eines Algorithmus für Ergebnis-Statistik

 

Bevor es nun weiter geht mit  Mehr-Qubit Registern, werden wir noch einige verblüffende Besonderheiten des Circuits aus Beipiel 7 untersuchen.

Stay tuned! Hier geht's weiter.



Zur Ausbreitung der Corona-Infektionen: Wachstumsmodelle

Die Corona-Krise, ihre Bewertung und die Maßnahmen zu ihrer Bewältigung sind seit Wochen das alles beherrschende Thema in den Medien. Dabei kommt neben den medizinischen, biologischen, wirtschaftlichen, gesellschaftlichen, rechtlichen und ethischen Fragen, die das Virus aufwirft, auch die Mathematik ins Spiel. Es sind mehrere Themenkomplexe, bei denen die Mathematik gefragt ist und adressiert wird: bei der Statistik der Datenerfassung und –auswertung, bei der Modellierung der Ausbreitung und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Infektionen, aber auch bei der Modellierung der wirtschaftlichen Auswirkungen des Shutdowns. Ferner spielen u.a. Methoden des Maschinellen Lernens bei der Suche nach einem Impfstoff oder nach Medikamenten eine wesentliche Rolle.

Wir wollen hier nur den Komplex der Ausbreitung der Infektionen ansprechen. In den Medien spielt dabei das Modell des exponentiellen Wachstums eine besondere Rolle. Außer von Virologen und Epidemiologen hören wir es von Vertretern aller Medien und von Politikern. Mathematiker kommen in der Öffentlichkeit kurioserweise kaum oder eher am Rande zu Wort.

Zur Charakterisierung der Ausbreitung der Infektionen werden in den Medien eine Vielzahl von Kurven gezeigt, oft erstaunlich nichtssagende Kurven, deren Sinn von Laien nicht und Experten nur mit Mühe verstanden werden können. Manche der Kurven werden in einem Achsenkreuz gezeigt, ohne dass die Achsen bezeichnet oder erläutert würden, so dass nicht klar wird, was die Kurven eigentlich veranschaulichen.

Zum Beispiel wurden in der anfänglichen Berichterstattung in den Medien zur Erklärung, warum eine Verlangsamung der Virus-Ausbreitung (durch Isolierung, Kontaktreduktion, soziale Distanzierung) medizinisch sinnvoll und notwendig ist, oft jeweils zwei Kurven gezeigt, deren Form an „Normalverteilungen“ aus der Statistik erinnern (eine spitze und eine flache Kurve). Zu diesen Kurven wird erklärt, dass sie einerseits die schnelle, ungebremste Ausbreitung (die spitze Kurve) und andererseits eine systematisch verlangsamte, zeitlich gedehnte Ausbreitung der Infektionen (die flache Kurve) beschreiben. Dabei soll eine waagerechte Linie, unter der die flache Kurve verläuft, die Kapazitätsgrenze für Intensivbehandlungen in deutschen Krankenhäusern charakterisieren. Diese Kurven haben aber keine präzise bezeichnete mathematische Bedeutung, sondern eher symbolischen Charakter.

Um etwas mehr Klarheit in die Vielfalt der Darstellungen zu bringen, wollen wir hier ein paar allgemeine Worte über „mathematische Wachstumsmodelle“ sagen. Dabei wenden wir uns ganz bewusst an den mathematisch nicht besonders versierten oder interessierten Leser.

Die drei wichtigsten Wachstumsmodelle sind das lineare, das exponentielle und das logistische Modell. Um sich einen Eindruck, eine Idee dieser drei Modelle zu verschaffen, braucht man nur einen Blick auf die Form der zugehörigen Wachstumskurven zu werfen:

Von diesen drei Modellen ist das lineare Wachstumsmodell das einfachste und alltäglichste. Trotzdem gehen wir hier zunächst auf das Modell des exponentiellen Wachstums ein, weil von diesem seit dem Beginn der Corona-Krise in den Medien fast ausschließlich die Rede ist.

Exponentielles Wachstum ist eigentlich leicht zu verstehen: Wenn sich z.B. irgendeine Menge täglich verdoppelt, dann haben wir es mit exponentiellem Wachstum im engsten Sinne zu tun. Sich vorstellen kann man das ja sofort. Verblüffend ist aber, wie schnell die Menge nach einer eher ruhigen Startphase anwächst.

Veranschaulicht wird dieses Anwachsen gern durch die indische Legende vom Schachbrett mir den Reiskörnern. Bei Verdoppelung der Anzahl der Reiskörner von einem Feld des Schachbretts zum nächsten sieht das Wachstum am Anfang harmlos aus. Aber am Ende, nachdem alle 64 Felder belegt sind, übersteigt die Menge der Körner alle Vorstellungen. Allein auf dem letzten Feld müssten die Reisernten der ganzen Welt von vielen hundert Jahren untergebracht werden.

Eine andere Geschichte, das Gleichnis vom Lilienteich, soll die Bedrohlichkeit des exponentiellen Wachstum deutlich machen: In einem Teich wächst eine Linie täglich auf die doppelte Größe an. In den ersten Tagen ist die Ausbreitung scheinbar völlig bedeutungslos, so geht es weiter, und auch am 29.Tag ist „nur“ der halbe See von Lilien bedeckt. Aber dann, am 30. Tag, ist der See vollständig zugewachsen, und alles Leben im See erstickt…

Nun muss es bei exponentiellem Wachstum nicht eine tägliche Verdoppelung der betreffenden Menge sein, es kann auch ein anderer Zeitraum sein, der zu einer Verdoppelung führt, z.B. eine Verdoppelung alle 4 Tage oder alle 10 Tage.

Nur am Rande sei erwähnt, dass wir es z.B. bei der Zinsesverzinsung von Kapital (wenn die Zinsen nicht abgeschöpft, sondern dem Kapital hinzugefügt werden) ebenfalls mit exponentiellem Wachstum zu tun haben: Bei einem Jahreszinssatz von zum Beispiel 5 % würde sich das Kapital bei Zinsesverzinsung ungefähr alle 14 Jahre verdoppeln.

Die Situation verändert sich aber grundlegend, wenn der Zeitraum, in dem die Verdoppelung stattfindet, nicht konstant ist, sondern sich laufend verändert. Wenn also z.B. der Verdoppelungszeitraum erst 4 Tage, dann – nach einigen Wochen – nur noch 6 Tage, dann – noch einige Wochen später – vielleicht nur noch 10 Tage beträgt usw.

In einem solchen Fall, wenn der Zeitraum, in dem die Verdoppelung stattfindet, sich dauernd verändert (vergrößert), haben wir es nicht mehr mit exponentiellem Wachstum im engeren Sinne zu tun, sondern mit einem möglicherweise deutlich komplizierteren Anwachsen. Über einen größeren Zeitraum betrachtet, sieht das Wachstum dann vielleicht eher wie lineares Wachstum aus. Konkret: Wenn sich der Zeitraum, in dem die Verdoppelung stattfindet, ebenfalls verdoppelt, also von 4 auf 8 Tage, dann auf 16, danach auf 32 Tage usw. anwächst – dann ist das global gesehen kein exponentielles, sondern lineares Wachstum.

Lineares Wachstum lässt sich schnell abhandeln: Es wird durch eine gerade Linie charakterisiert. Es ist das uns vertrauteste Wachstumsmodell: Der Preis einer Ware steigt in der Regel linear mit der Menge der Ware, der Arbeitslohn sollte linear mit dem Zeitraum anwachsen, in dem die Arbeit ausgeübt wird usw. Bei allem, was wir in der Schule und im Alltag mit dem Dreisatz-Prinzip ausgerechnet haben und ausrechnen können, haben wir es mit linearen Beziehungen, mit linearem Wachstum zu tun.

Logistisches Wachstum als alternatives Modell zu exponentiellem Wachstum

Wie im Beispiel der Schachbrettlegende wächst unbegrenzt exponentielles Wachstum schließlich dramatisch schnell an, es geht sehr schnell ins quasi „Unendliche“.

In der Wirklichkeit ist exponentielles Wachstum aber nur theoretisch unbegrenzt, es geht praktisch eigentlich immer in eine andere Form des Wachstums über. Neben dem gerade behandelten einfachen linearen Wachstum ist ein sehr wichtiges, besonders realistisches Wachstumsmodell das logistische Wachstum.

Die obige Kurve zum logistischen Wachstum zeigt (von links nach rechts) das Charakteristische des logistischen Wachstums: Zu Beginn, in der Startphase, verhält sich die Kurve wie beim exponentiellen Wachstum, ändert dann aber – an einem „Wendepunkt“ – ihre Richtung, wird flacher und nähert sich immer mehr einer waagerechten Geraden an. Das Wachstum wird durch diese Gerade begrenzt. In der Realität ist der Übergang vom exponentiellen Wachstum in begrenztes Wachstum in aller Regel dadurch bedingt, dass Ressourcen beschränkt sind und aufgebraucht werden

Auch auf die Corona-Ausbreitung bezogen, haben wir es langfristig mit logistischem Wachstum zu tun: Wenn die senkrechte Achse die Gesamtzahl aller Infizierten (einschließlich der bereits Genesenen) beschreibt, ist klar, dass weitere Infektionen spätestens dann ausgeschlossen sind, wenn alle Individuen infiziert sind oder waren (und eine zwei- oder mehrmalige Infektion ausgeschlossen ist). Nach den Erkenntnissen der Epidemiologie ist sogar zu erwarten, dass eine solche Begrenzung praktisch schon erreicht wird, wenn etwa 70% der Individuen infiziert sind oder waren. (Man spricht dann auch von „Herdenimmunität“.)

Die derzeitigen Maßnahmen zur Kontaktminimierung (im April 2020) zielen dagegen darauf ab, zu erreichen, dass die sogenannte Reproduktionszahl R (möglichst deutlich) kleiner als 1 ist, das heißt dass jedes Infizierte Individuum im Mittel (möglichst deutlich) weniger als ein weiteres Individuum mit dem Virus infiziert. . Wenn das gelingt, wird die Gesamtzahl der gleichzeitig Infizierten auf Dauer (deutlich) abnehmen. Wenn man die Reprodukionszahl R, ihre zeitliche Entwicklung und die dadurch bedingte Ausbreitung der Infektion durch Kurven veranschaulicht, haben diese Kurven eine andere Bedeutung als die oben diskutierten Kurven und Modelle, weil sich R nicht auf die Gesamtzahl der Infizierten, sondern nur auf die jeweils aktuell Infizierten (ohne die bereits Genesenen und Verstorbenen) bezieht. Selbst in solchen Fällen, bei denen die in den Medien präsentierten Kurven eine mehr oder weniger präzise Bedeutung haben, muss man also genau hinsehen und bei der Interpretation der Kurven vorsichtig sein.

Resumee

Für die Ausbreitung der Corona-Infektion ist also das exponentielle Modell immer nur kurzfristig oder für eine bestimmte Zeitspanne relevant: die Wachstumsraten ändern sich, insbesondere als Folge der getroffenen Maßnahmen, von Tag zu Tag. Global, auf lange Sicht gesehen, wird das Wachstum in ein logistisches Wachstum übergehen. Die getroffenen Maßnahmen zielen jedenfalls darauf ab, dass sich ein exponentielles Wachstum (z.B. in einer „zweiten Welle“) keinesfalls wieder einstellt.

Viele Fragen zum Corona-Virus, u. a. zu seiner Übertragbarkeit, zu seiner Gefährlichkeit, zu seiner Ausbreitungsdynamik, zu seiner Bekämpfung sind heute noch nicht oder nicht vollständig geklärt, und auch anerkannte Experten äußern sich nicht einheitlich über diese Fragen. Insbesondere die Corona-Datenerfassung ist unübersichtlich und uneinheitlich. Über die Gesamtzahl der Infizierten (die „Dunkelziffer“) wird viel spekuliert. Die zugehörige Statistik ist infolgedessen unsicher und oft fragwürdig. Im Hinblick auf die Aufklärung der Öffentlichkeit ist es umso wichtiger, dass das, was man sicher weiß, über die Medien klar und unmissverständlich kommuniziert und veranschaulicht wird, und möglichst nur das.

 


Zur Corona-Krise: Ist „Herdenimmunität“ ein realistisches Ziel?

Die Corona-Krise ist seit Wochen das beherrschende Thema in den Medien. Dabei kommt neben den medizinischen, biologischen, wirtschaftlichen, gesellschaftlichen, rechtlichen und ethischen Fragen, die das Virus aufwirft, auch die Mathematik ins Spiel. Es sind mehrere Themenkomplexe, bei denen die Mathematik gefragt ist und adressiert wird: bei der Statistik der Datenerfassung und –auswertung , bei der Modellierung der Ausbreitung und der Ausbreitungsgeschwindigkeit  der Infektionen,  aber auch bei der Modellierung der wirtschaftlichen Auswirkungen des Shutdowns. Daneben können z.B.  Methoden des Maschinellen Lernens bei der Suche nach einem Impfstoff oder nach Medikamenten genutzt werden.

Schon seit einigen Wochen werden in den offiziellen Verlautbarungen der Politik und der virologischen Experten im Wesentlichen zwei grundsätzliche Ziele und Strategien zur Überwindung der Krise genannt:

  1. Die Abflachung der Kurve der Corona-Infizierten insbesondere durch Isolierungsmaßnahmen. Damit soll erreicht werden, dass die Zahl der gleichzeitigen schweren Krankheitsverläufe jeweils (möglichst deutlich) unter der Gesamtkapazität der Intensivstationen der deutschen Krankenhäuser bleibt. Dadurch soll sichergestellt werden, dass es zu keiner Zeit zu Behandlungsengpässen in Krankenhäusern kommt und jeder Patient adäquat versorgt werden kann.
  1. Die „Durchseuchung“ der Gesamtbevölkerung zu etwa 70% mit der Corona-Infektion. Dabei gehen die Virologen davon aus, dass eine ca. „70%-Durchseuchung“ zu einer weitgehenden Immunität in der Bevölkerung („Herdenimmunität“) führen würde.In den ersten offiziellen Stellungnahmen, kurz nach Ausbruch der Krise, ist dieses Ziel  noch als durchaus erstrebenswert vertreten worden, u.a. von der Kanzlerin.

Offensichtlich – schon aus elementarmathematischen Gründen - vertragen sich diese beiden Ziele nicht gut mit einander: Während das Ziel 1 auf eine Minimierung der gleichzeitigen Infektionenund damit auf eine zeitliche Streckung  herausläuft, würde man das Ziel 2 „im Prinzip“  möglichst bald erreichen wollen, um damit die Krise zu überwinden. Praktisch kann man das Ziel 2 natürlich nicht auf Kosten der unkontrollierten Zunahme schwerer Krankheitsverläufe verfolgen.

Wenn man andererseits versuchen würde, beide Ziele miteinander zu kombinieren, müsste man eine sehr lange Zeit mit der Krise und entsprechenden Maßnahmen leben. Insofern bleibt nur die Hoffnung auf ein Medikament und auf einen Impfstoff.


Q2 Etwas ist anders! - Hello Qubit World

Schauen wir uns also als erstes einmal an, wie so ein Qubit-Algorithmus aussieht - auch ohne den schon zu verstehen.

Bekanntlich ist in der Welt der Informatiker, Programmierer, Hacker das erste, was man ausprobiert bei einem neuen System oder einer neuen Programmiersprache, ein "Hello World" zu erzeugen. Das allgemein anerkannte "Hello World" für Quantencomputer sieht allerdings schon etwas ungewöhnlich aus. Es liefert auch nicht die Grußformel, sondern ist nur so etwas wie das einfachste Qubit-Programm. (Natürlich kann man das Ergebnis daraus in der "normalen" Programmierwelt in ein "Hello World" umwandeln.) Wir werden sehen.

Und so sieht es aus, das "Hello World"  der Qubit-Welt:

Sieht eher aus wie ein Ausschnitt aus einer Partitur moderner Musik? Der Vergleich ist gar  nicht so unpassend. Dieser Ausschnitt "orchestriert"  quasi die "Instrumente" eines Quantencomputers, die Qubits.

Am liebsten würde man das Bild sofort erklärt bekommen, aber das heben wir uns für später auf. Man sieht erst mal, ein Q-Algorithmus wird ganz anders dargestellt als üblich. Und dies ist eine einfache Möglichkeit einen Q-Algorithmus als Qubit-Programm grafisch zu beschreiben. (Das ist so ähnlich wie bei Scratch oder Roberta, wo man ein Programm visuell aus einzelnene Bausteinen zusammensetzen kann.) Natürlich kann man statt in der grafischen Form einen Q-Algorithmus auch in Worten beschreiben, wobei man aber sorgfältig mit der Sprache umgehen muss. Oder durch eine Programmiersprache, z.B. Python. Wir probieren das nachher mal.

Versuchen wir mal zu erraten, was die Grafik bedeutet, quasi als Partitur: Es gibt offenbar 2 Instrumente, q1 und q2. Die haben ihre eigene "Linie", auf denen etwas passiert. Klar, das sollen zwei Qubits sein - wobei wir erst in einem späteren Blog erklären, was Qubits sein sollen. Auf den Linien geschieht etwas, nacheinander, mit den jeweiligen Qubits. Was auch immer H macht, es macht es nur mit q1. Danach kommt etwas, dass offenbar q1 und q2 zusammen betrifft.

Am Ende jeder Qubit-Zeile steht eine Art Anzeige-Symbol, wie bei einem Messgerät, mit einem Pfeil nach unten auf die Doppel-Linie C. Tatsächlich, hier wird ein Qubit "gemessen". Und das Messergebnis wird an die C-Linie übertragen. Das "C" steht übrigens für "classical" - nein, nicht "klassische Musik", sondern "klassiches Bit", im Gegensatz zum Quanten-Bit oder Qubit. Danach kommt nichts mehr, es ist Schluß, das "Musikstück" zuende.

Was bedeuten die Zahlen unten auf der C-Linie? Das ist einfach zu erraten: die 2 besagt, dass C die "Messwerte" von 2 Qubits aufnimmt. Die 0, klar, steht für: "Hier kommt der Messwert von Qubit q0." Und die 1 für Messwert von q1 - falls es in einer größeren "Partitur" mal unübersichtlich werden sollte. Und da das C für "classical bit" steht, kann man schon schließen, dass die Messergebnisse herkömmliche Bits sind.

Jetzt wissen wir, was die Teile bedeuten, aber immer noch nicht, was der ganze Qubit-Schaltkreis macht (so nennt man das Gebilde in Anlehnung an herkömmliche elektronische Schaltkreise).

Das liegt daran, dass wir nicht wissen was die beiden blauen Symbole machen. Mal sehen, ob wir das auch noch verstehen können, z.B. indem wir den Hello Qubit World Algorithmus in normaler Sprache formulieren.

Aber jetzt ist es erst mal genug. Pause. Dann weiter lesen.

Cliff-Hanger - Stay tuned

Und hier geht's weiter.

 


Künstliche Intelligenz III: Zukunft gestalten, Werte erhalten

Die rasante Entwicklung der Künstlichen Intelligenz (KI) wirkt sich auch in Deutschland auf alle Lebens- und Arbeitsbereiche aus – und wirft die Frage auf, wie sich der Wandel vorteilhaft und verantwortungsvoll zugleich gestalten lässt. Folge vier unserer Digitalserie liefert Antworten.

In der Diskussion über rechtliche und ethische Aspekte von KI vermischen sich berechtigte Anliegen mit unbegründeten Ängsten. Berechtigt sind zum Beispiel Fragen nach Sicherheitsvorkehrungen und Kontrollmechanismen, wenn KI-Algorithmen lebenswichtige Entscheidungen treffen, etwa im juristischen Bereich oder in der medizinischen Diagnostik. Wie schwer eine klare Antwort auf die Frage fällt, wer im Einzelfall die Verantwortung für fatale Entscheidungen übernehmen soll, wird in der Debatte über das autonome Fahren deutlich. Jeder kann sich eine Situation vorstellen, in der sich ein Unfall nicht mehr vermeiden lässt und das autonome Fahrzeug in Bruchteilen von Sekunden über das Leben
und den Tod von Verkehrsteilnehmern entscheiden muss. Nach welchen Prinzipien sollen solche Entscheidungen fallen? Eine verbindliche Antwort ist bislang nicht gefunden.

Eigene Daten schützen

Auch die Sorge um den Datenschutz und die Privatsphäre ist verständlich. Im Prinzip aber bilden in Deutschland das Grundgesetz, Gesetze und die Datenschutzgrundverordnung der EU einen sinnvollen, für die digitale Welt gültigen Rechtsrahmen. Gefährlich ist eher ein leichtfertiger Umgang von Nutzern mit ihren eigenen Daten. Und was ist von Prognosen zu halten, die für die fernere Zukunft die Weltherrschaft superintelligenter Maschinen voraussagen? Alle KI-Systeme lösen ausschließlich spezielle Aufgaben. Aber die Systeme selbst sind Maschinen oder Algorithmen. Sie haben keine Gefühle und kein Bewusstsein, sondern verfolgen nur Ziele, für die sie programmiert sind. Roboter, die nicht nur
Einzelaufgaben lösen, sondern der menschlichen Intelligenz in ihrer Breite nahekommen, sind auch für die nächsten Jahrzehnte eine Illusion.

Deutschlands Stärken nutzen

Oft ist von der Dominanz der vier US-amerikanischen Internet-Giganten Google, Facebook, Amazon und Apple die Rede. In den Hintergrund treten dabei die guten Voraussetzungen, die Deutschland durch seine Verbindung aus klassischem Ingenieurwissen, theoretischer Fundierung und hoher KI-Forschungskompetenz hat. "Wenn wir die neuen Möglichkeiten der KI mit den klassischen Stärken unserer Unternehmen kombinieren, können wir neue Chancen im internationalen Wettbewerb schaffen und den digitalen Wandel nach unseren Wertvorstellungen gestalten", sagt Professor Stefan Wrobel, einer der prägenden KI-Experten in Deutschland.

In der Tat hat KI das Potenzial, die Lebensqualität zu verbessern und der Menschheit bei der Überwindung von Krankheiten, Armut und Ungleichheit zu helfen. Ein solcher Fortschritt setzt Gestaltungswillen und politische Digitalkompetenz zwingend voraus. Die Politik darf die KI-technologischen Entwicklungen nicht einfach nur laufen lassen, sondern muss sie im Dialog mit führenden Experten fördern und gestalten. Andernfalls wird sie ihrer Verantwortung nicht gerecht.

Der dramatischste Nachholbedarf besteht jedoch im Bereich der digitalen Aufklärung und Bildung. Und da geht es nicht in erster Linie um die Ausstattung aller Schüler mit einem Tabletcomputer, sondern um die digitalen Kerninhalte des Unterrichts. Ohne diese Inhalte und ein Grundverständnis für algorithmische Prinzipien bleiben Medienkompetenz und
digitale Bildung substanzlos.

 

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