Q11 3-Qubit Circus
So sieht ein Circuit mit 3 Qubits im IBM Q Composer aus.
3-Qubit Zustände
Wir haben hier auch gleich einmal das Swap-Gate zwischen q0 und q1 eingesetzt und das ID-Gate.
Was wird das Messergebnis sein? Klar, q0 liefert 0, q1 liefert 1, beides jeweils zu 100%. Aber H (mit oder ohne ID) liefert für q2 je 50% 0 und 1. D.h. als 3-Qubit Messergebnis können wir 010 und 110 zu je 50% erwarten. (Der Lauf auf dem Simulator bestätigt die Erwartung.)
Erstaunlich - dies ist die Analyse eines Mini-Qubit-Algorithmus mit immerhin 3 Qubits, die wir allein aus der Interpretation der Gates abgeleitet haben. Das war übrigens auch schon bei den vergangenen Circuit-Beispielen der Fall. Andererseits kann man den Algorithmus auch "formelmäßig berechnen", indem man, ausgehend vom Anfangszustand der Qubtis, die Abfolge der Zustände über die Gate-Formeln berechnet. Das haben wir ernsthaft schon in Q10 begonnen.
Nun zu den 3-Qubit-Zuständen. Mit dem allgemeinden Zustand (r,s) für q2 rechnen wir analog zum 2-Qubit-Zustand:
(r,s) ⊗ ((u,v)⊗(x,y)) = (r,s) ⊗ (ux, uy, vx, vy) = (rux, ruy, rvx, rvy, sux, suy, svx, svy)
Das Resultat ist ein 8-dimensionalen "Punkt". Wieder ist die Summe der Quadrate der Koordinaten =1. Und alle 8-Koordinaten-Punkte, die diese Bedingung erfüllen sind wieder zulässige 3-Qubit-Zustände. Die Berechnung des 3-Qubit-Zustands aus den Zuständen der einzelnen Qubits ist assoziativ aber nicht kommutativ. D.h. es ist zwar egal, ob erst (r,s)⊗(u,v) gerechnet wird oder erst (u,v)⊗(x,y), aber es ist nicht egal, ob man die Reihenfolge der Qubit-Zustände vertauscht: (r,s)⊗(u,v) ist nicht das Gleiche wie (u,v)⊗(r,s). Nur zur Warnung!
Verfolgen wir die Zustände im obigen Beispiel:
q0 (1,0) ---> X ---> (0,1) ---> Swap ----> (1,0) = (x,y)
q1 (1,0) ---------------------> Swap ----> (0,1) = (u,v)
q3 (1,0) ---> H ---> 1/√2(1,1) ---> ID --->1/√2(1,1) = (r,s)
Damit wird der 3-Qubit-Zustand zum Zeitpunkt der Messung
1/√2(1,1) ⊗ (0,1) ⊗ (1,0) = (0, 0, 1/√2, 0, 0, 0, 1/√2, 0)
Man macht sich hier zunutze, dass der 3-Qubit-Zustand separabel ist; denn er wird ja aus drei 1-Qubit-Zuständen zusammen gesetzt.
Messung und Kets
Wie passt das zur Messung? Dazu müssen wir den M-Operator auf 3-Qubit-Zustände erweitern. Ein solcher Zustand (a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) lässt sich mit 3-Kets schreiben als a0|000>+a1|001>+a2|010>+a3|011>+a4|100>+a5|101>+a6|110>+a7|111>
Dabei sind die 3-Kets wieder die Abkürzungen für |0>⊗|0>⊗|0> = |000> usw. Allgemein gilt die Schreibweise |ijk> = |i>⊗|j>⊗|k>.
Und da wir gerade dabei sind, stellen wir fest, dass die 0-1-Folgen in den 3-Kets genau die Dezimalzahlen 0, 1, 2, ..., 7 ergeben, wenn man sie als Binärzahlen interpretiert. Und wenn wir die Koordinaten a0, ... a7 so durchnummerieren wie in der Ket-Summe, dann passen die gerade zu den Kets als Dezimalzahlen.
Damit kann man nun den Operator M so festlegen - und das gilt für beliebige Anzahlen von Qubits:
M(a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) = (|a0|², |a1|², |a2|², |a3|², |a4|², |a5²|, |a6|², |a7|²)
und dabei bedeutet z.B. |a5|² die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir als Messergebnis 101, die Binärzahl für 5, bekommen. Und ja, man schreibt dann natürlich auch manchmal den Ket mit der Dezimalzahl statt der Bitkette: |101> = |5>. Allgemein:
|i>⊗|j>⊗|k>=|ijk>=|d>, wobei d=i*2²+j*2¹+k*2°
Dabei den Durchblick zu behalten, ist schon eine ziemliche Herausforderung. Aber es musste mal gesagt werden - auch wenn wir möglichst bei der Koordinatendarstellung von Zuständen bleiben.
Zurück zur Messung im Beispiel oben: der M-Operator angewendet auf den 3-Qubit-Zustand
1/√2(1,1) ⊗ (0,1) ⊗ (1,0) = (0, 0, 1/√2, 0, 0, 0, 1/√2, 0)
ergibt die Wahrscheinlichkeiten (0,0,1/2,0,0,0,1/2,0). D.h. nur 010 und 110 kommen bei Messungen vor.
Man muss darauf achten, dass man Zustände in Koordinatenschreibweise und Messwahrscheinlichkeiten sachlich und sprachlich voneinender unterscheidet. Insofern ist die Ket-Schreibweise wiederum hilfreich, weil sid ganz anders "aussieht" als die Liste der Wahrscheinlichkeiten, die M liefert.
Tofoli Gate
Das Tofoli-Gate ist ein CCNOT Gate, d.h. q0 und q1 steuern q2: wenn beide im Zustand (0,1) sind (also |1> als Ket), wird der Zustand von q2 umgedreht, sonst bleibt er unverändert. Mit (x,y), (u,v) und (r,s) als Zustände von q0, q1 bzw. q2, überführt das Tofoli-Gate den 3-Qubit-Zustand
(r,s) ⊗ (u,v)⊗(x,y) = (rux, ruy, rvx, rvy, sux, suy, svx, svy)
---> CCNOT
---> (rux, ruy, rvx, svy, sux, suy, svx, rvy)
d.h. die 4. und 8. Koordinate werden vertauscht. Das ist einfach zu verstehen: v und y sind die Anteile von (0,1) (oder |1>) in den beiden Control-Qubits q0 und q1. Kommen beide zusammen in einer Koordinate des 3-Qubit-Zustands vor, wechselt q2 die Zustandskoordinaten. Damit wird in der 4. Koordinate rvy zu svy und umgekehrt in der 8. Koordinate.
Ein Beispiel-Circuit mit Tofoli-Gate (CCNOT). Es liefert 010 und 111 mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Eine gute Übung, das Ergebnis über die Zustandsentwicklung nachzuvollziehen.
Logische Gates
Wenn wir das Tofoli-Gate (auch CCNOT oder ccX genannt) mit den Controlled Gates in den 2-Qubit-Circuits vergleichen, etwa cX (CNOT) oder cH, dann ist das Tofoli-Gate eine Erweiterung des CNOT auf zwei "kontollierende" Qubits. Entsprechend kann man auch andere 1-Qubit Gates-Gates über kontrollierende Qubits beeinflussen.
Bei 3-Qubit gibt es auch die Möglichkeit, ein controlling Qubit auf die zwei anderen Qubits wirken zu lassen. Ein Beispiel ist das cSWAP, auch Fredkin-Gate genannt. Es "swappt" die Zustände von q1 und q2 in Abhängikeit von q0.
Nicht alle Möglichkeiten für controlled Gates sind als Symbole im Circuit Composer vordefiniert. Man kann sie aber in der Regel alle aus vorhandenen Gates "konstruieren".
Die logischen Qubit Gates sind zu vergleichen mit einfachen "wenn ... dann" Konstrukten in herkömmlichen Algorithmen. Während dabei aber die Bedingung hinter "wenn" stets entweder wahr oder falsch ergibt, oder als Bits 1 oder 0, kann bei Qubits die Bedingung "anteilweise" erfüllt sein. Etwa, wenn das Control-Qubit den Zustand 1/√2(1,1) hat. Die Wirkung nach dem "dann" bezieht sich immer auf ein anderes Qubit (das controlled Qubit), während bei herkömmlichen Algorithmen die "dann"-Aktion mehrere Schritte mit mehreren Variablen haben kann - die in der "wenn"-Bedingung vorkommenden eingeschlossen.
3-Qubit-Verschränkungen
Natürlich gibt Verschränkung auch in 3-Qubit (oder Mehr-Qubit) Systemen. Der Circuit sieht aus wie ien Erweiterung unseres Circuit 7 für 2 Qubits. Tatsächlich ist auch das Messergebnis ähnlich: Es liefert 000 und 111 mit jeweils etwa 50%. Das lässt sich auch anhand der Zustandsabfolge nachvollziehen (mit ein bisschen Probieren):
(1,0)⊗(1,0)⊗(1/√2,1/√2) = (1/√2, 1/√2, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
---> CNOT-q0-q1 ---> (1/√2, 0, 0, 1/√2, 0, 0, 0, 0)
---> CNOT-q1-q2 ---> (1/√2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/√2)
Verschränkte 2- und Mehr-Qubit-Zustände spielen eine wichtige Rolle in Qubit-Algorithmen. Wir werden das in den nächsten Blogs demonstrieren.
Man kann nun untersuchen, was passiert, wenn man dem q1 und / oder dem q2 ein X-Gate voranstellt, d.h. nicht mit dem Anfangszustand (1,0) sondern mit (0,1) startet. Das Einfachste, wenn man den Zugang zum IBM Q Experience Circuit Composer hat, ist Ausprobieren. Andererseits kann man das auch erschließen. Z.B. hat ein X auf der q1-Linie den Effekt, als Messergebnis 001 und 110 zu liefern, also gegenüber 000 und 111 eine Umkehrung des (rechten) Ergebnis-Bit aus dem Zustand von q0. In jedem Fall bekommen wir eine Verschränkung der 3 Qubits.
Diese Zustandsverschränkung wird als GHZ-Verschränkung bezeichnet - wie überhaupt in der Qubit-Welt viele Objekte mit Namen von Forschern bezeichnet oder abgekürzt werden. Damit wollen wir uns hier aber nicht belasten. Ganz am Ende der Blogserie gibt es dann noch mal eine Tabelle dafür. Ein weiterer wichtiger Verschränkungszustand heißt "W-Zustand". Den werden wir im nächsten Blog kennen lernen. Und unterwegs werden wir einen ersten "richtigen" Qubit-Algorithmus konstruieren, der etwas Reales tut: "Würfeln". Klingt simpel? Ist es aber nicht.
Kleine Pause, dann geht's hier weiter. Stay tuned!
Tabellen-Ergänzung
| Begriff englisch | Begriff deutsch | Bedeutung |
| Swap Gate | Swap Gate | Vertauscht die Zustände zweier Qubits |
| 3-Qubit State | 3-Qubit-Zustand | (r,s)⊗(u,v)⊗(x,y) in Koordinatenschreibweise |
| |ijk> | |ijk> | 3-Qubit-Zustand in Ket-Schreibweise: |ijk> = |i>⊗|j>⊗|k> |
| associative | assoziativ | Reihenfolge der Ausführung der Operation ist beliebig z.B. (a+b)+c = a+(b+c). |
| commutative | kommutativ | Reihenfolge der Operanden ist beliebig, z.B. a+b=b+a. Aber nicht a-b = b-a! |
| Tofoli-Gate | Tofoli-Gatter | ccX: Switch q3, wenn q0 und q2 im Zustand (0,1) |
| Fredkin-Gate | Fredkin-Gatter | cSwap: Swappt Zustände von q2 und q3, wenn q0 in (0,1) |
| GHZ | GHZ | Ein verschränkter 3-Qubit-Zustand |
| W state | W-Zustand | Ein anderer 3-Qubit verschränkter Zustand |
Q10 Qubit-Algorithmen - Hinter die Kulissen geschaut
"Hinter die Kulissen schauen" - das heißt, die Effekte der Zwei- und Mehr-Qubit Algorithmen durch Zustandsübergänge zu erklären. Das ist, zugegeben, nicht ganz so einfach wie bei herkömmlichen Algorithmen, bei denen wir die Variablen - als Pendant zu den Qubits - einfach setzen, verrechnen und zu jeder Zeit "ansehen" können (print).
In Q9 hatten wir die Darstellung von Qubit-Zuständen für 2-Qubit Systeme eingeführt - in Form von Vierer-Koordinaten und, alternativ, in Ket-Schreibweise. Damit können wir nun einige elementare Qubit-algorithmische Komponenten nachvollziehen. In Q9 hatten wir eine Reihe von Circuit-Beispielen grafisch erstellt und vom IBM Qubit-Simulator ausführen lassen. Einige davon wollen wir anhand der Zustandsübergänge untersuchen und so erklären, wie es zu den Messergebnissen kommt. Besonders interessiert uns natürlich das Phänomen der Verschränkung und, was es mit dem Kick-back auf sich hat.
Zwei-Qubit-Zustände können durch vier Koordinaten (w, x, y, z) dargestellt werden, die |w|²+|x²|+|y|²+|z|²=1 erfüllen. Also Punkte auf einer Art 4-dimensionalem Einheitskreis.
Wenn der Zustand aus einer Kombination von zwei Qubit-Zuständen, sagen wir (u,v) und (x,y), entsteht, dann sind die vier Koordinaten durch (u,v)⊗(x,y) = (ux, uy, vx, vy) bestimmt. Die Reihenfolge ist übrigens nicht vertauschbar! Und wir hatten per Circuit-Simulation und Nachrechnen schon gesehen, dass nicht jeder 2-Qubit-Zustand sich aus zwe 1-Qubit-Zuständen zusammensetzt (Verschränkung).
Zustände und Gates
Wir hatten schon in Q7 gesehen, dass man die 1-Qubit-Gates X und H durch die Koordinaten (x,y) eines Zustands ausdrücken kann:
X(x,y) = (y,x) und H(x,y) = 1/√2(x+y,x-y)
Ry hat einen Parameter, θ, der einen Drehwinkel beschreibt. Daher ist nicht Ry ein Gate sondern Ry(θ). Angewendet auf den Zustand (x,y), den man auch mittels seines Winkels auf dem Einheitskreis als (cos(α),sin(α)) ausdrücken kann, wirkt Ry(θ) auf (x,y) als "Bewegung" auf dem Einheitskreis um θ/2. Als Formel also
Ry(θ)(x,y) = (cos(α+θ/2),sin(α+θ/2))
(Das θ/2 ist wieder nötig, weil der Ry-Paramter eine andere Bedeutung hat als der Drehwinkel auf unserem Einheitskreis.) Man kann das immer überprüfen durch Tests mit einfachen Composer-Circuits.
Aber was ist mit dem CNOT Gate, dass ja zwei Qubit-Zustände "verknüpft"? Nehmen wir wieder (u,v)⊗(x,y) = (ux, uy, vx, vy) als generelles Beispiel. Dann ist
CNOT angewendet auf (u,v)⊗(x,y) = (ux, vy, vx, uy)
d.h. die 2. und 4. Koordinate werden vertauscht. Aber wie können wir das begründen? Und welcher von beiden ist der "controlling" (steuernde) Qubit-Zustand und welcher der "controlled" (gesteuerte)? Wir überprüfen das mit dem Effekt auf die Basiszustände in Koordinatendarstellung. Wir erinnern uns dennoch, dass (1,0) dem Ket |0> entspricht und (0,1) dem Ket |1>.
(0,1)⊗(1,0) = (0, 0, 1, 0) ---> CNOT ---> (0, 0, 1, 0) = (0,1)⊗(1,0) gleich
(0,1)⊗(0,1) = (0, 0, 0, 1) ---> CNOT ---> (0, 1, 0, 0) = (1,0)⊗(0,1) ungleich
(1,0)⊗(1,0) = (1, 0, 0, 0) ---> CNOT ---> (1, 0, 0, 0) = (1,0)⊗(1,0) gleich
(1,0)⊗(0,1) = (0. 1, 0, 0) ---> CNOT ---> (0, 0, 0, 1) = (0,1)⊗(0,1) ungleich
Die Zustände der beiden Qubits bleiben nach CNOT gleich, wenn der zweite Zustand (rechts) (1,0) ist. Das entspricht dem Ket |0>. Der linke Zustand ändert sich, wenn der rechte (0,1) ist, was dem Ket |1> entspricht. Der rechts vom ⊗ stehende Zustand verändert sich in keinem Fall. Damit ist klar, dass der Zustand von q0 im Circuit 7 (Control Qubit) in der Formel rechts stehen muss, und der von q1 (Controlled Qubit) links im ⊗-Ausdruck. Merkregel: Das passt zu den Bit-Ketten, die beim Messen der Circuits geliefert werden: von q0 ganz rechts bis q4 ganz links.
Nur zur Übung hier die vierte Zeile "übersetzt" in die Ket-Schreibweise.
|0>⊗|1> = |01> = 0*|00>+1*|01>+0*|10>+0*|11>
---> CNOT
---> 0*|00>+0*|01>+0*|10>+1*|11> =|11> = |1>⊗|1>
das q1 hat seinen Zustand von |0> auf |1> geändert, da q0 den Zustand |1> hat.
Wer Lust hat, kann die anderen CNOT-Transformationen ebenfalls in Ket-Schreibweise versuchen. (Die Kommentare unten werden gelesen!)
Verschränkte Qubits
Hier noch einmal der Circuit 7, der uns eine Verschränkung der Qubits q0 (obere Leitung) und q1 (untere Leitung) bescherte. Bisher konnten wir nur die Messergebnisse interpretieren. Mit den Formeln für H und CNOT können wir den verschränkten 2-Qubit Zustand bestimmen.
Die Ausgangszustände der beiden Qubits sind (1,0). Wenn H auf q0 angewendet wird, bekommen wir 1/√2(1,1) nach der Formel oben. Das CNOT müssen wir daher mit diesem Zustand als Control auf den Zustand von q1 anwenden, d.h. (1,0) steht links vom ⊗:
(1,0)⊗(1/√2,1/√2) = (1/√2, 1/√2, 0, 0) ---> CNOT ---> (1/√2, 0, 0, 1/√2) = ???
Das Ergebnis von CNOT ist 1/√2(1,0,0,1) und das ist, wie wir in Q9 gesehen haben, nicht separabel, d.h. in zwei einzelne Qubit-Zustände zerlegbar.
Im Beispiel 2 des vorigen Blogs (Q9) hatten wir die Variante mit einem X-Gate auf der q1-Linie, vor dem CNOT, diskutiert. In der vorausgegangenen Rechnung würde daher ganz links ein (0,1) stehen, statt (1,0). Was wäre dann hier der Zustand bei Messung? Und ist der separabel oder verschränkt?
Kick-back Qubit 0
Im Blog Q9 hatten wir mit Beispiel 6 einen überraschenden Effekt, der als Kick-back bezeichnet wird. Der Algorithmus im Composer-Format sah so aus:
Die Messungen ergeben 01 und 11 zu je etwa 50%.
Wir versuchen das mittels der Abfolge der Zustände, die wir ja theoretisch berechnen können, zu verstehen. Wir verwenden dazu die Koordinaten-Darstellung der Zustände.
Qubit q0 beginnt im Zustand (1,0) und wird per H in (x,y) = 1/√2*(1,1) überführt. Qubit q1 beginnt im Zustand (1,0) und wird von X in (0,1) überführt. Darauf wird H angewendet, das nach der Formel oben den Zustand von q1 in (u,v) = 1/√2*(1,-1) überführt. Das 2-Qubit System hat damit den zusammengesetzten Zustand
(u,v)⊗(x,y) = (ux, uy, vx, vy) = 1/2*(1, 1, -1, -1)
---> CNOT (Vertauschen der zweiten und vierten Koordinate)
---> 1/2*(1, -1, -1 ,1) = 1/√2*(1,-1)⊗1/√2*(1,-1)
Nun überführt H, auf q0 im Zustand 1/√2*(1,-1) angewendet, q0 in (0,1). Qubit q1 bleibt in 1/√2*(1,-1). Wir stellen damit fest:
- Der 2-Qubit Zustand ist nicht verschränkt. Beide Qubits sind separat messbar.
- Messung von q0 liefert immer 1, Messung von q1 liefert 0 und 1 zu 50%. Damit erwarten wir die 2-Qubit Zustände 01 und 11 zu 50%.
Das controlled Qubit hat damit eine Rückwirkung (Kick-back) auf das q0. Es kehrt den Zustand von q0 zu (0,1) um, obwohl HH(1,0) = (1,0) zu erwarten wäre. Wir werden das Kick-back später in einem komplexeren Algorithmus geschickt einsetzen. (Zur Übung lohnt es sich, diese Rechnung auch in Ket-Form durchzuführen.)
Mehr Gates, mehr Qubits
Bisher haben wir folgende Gates und ihre Formeln für die Zustandsüberführung kennen gelernt: Das X, H und Ry für 1-Qubit Zustände, sowie ein "Reset"-Gate, das im Composer schlicht als |0> gekennzeichnet wird. Damit kann man im Verlauf der Zustandsentwicklung ein Qubit auf den Ausgangszustand zurücksetzten.
Das Instrumentarium der Qubit-Algorithmik enthält noch eine Reihe von weiteren Gates, die auch in einem Circuit eingesetzt werden können. Einige davon, die wir in unseren Blogs gebrauchen können, sind hier kurz erklärt. Wer Lust hat kann deren Wirkung unmittelbar in einfachen Circuits einmal ausprobieren - dabei ist aber zu beachten, dass verschiedene Zustände durchaus das gleiche Messergebnis liefern können.
- Y-Gate: Hat für unsere Zwecke die gleiche Wirkung wie X.
- Z-Gate: Überführt 1/√2*(1,1) in einem Schritt in 1/√2*(1,-1), und umgekehrt. Für diese beiden Zustände gibt es übrigens ein besonderes Ket-Symbol: |+> und |->. Es ist offensichtlich, welches Ket welchen Zustand kennzeichnet. Das Z-Gate überführt also |+> in |->. Klingt etwas exotisch, ist aber oft eine ganz praktische "Abkürzung". Beide Zustände liefern natürlich das gleiche Messergebnis, daher kann man die Wirkung von Z nicht unmittelbar an der Messung ablesen.
- ID-Gate: Typisch Mathematik bzw. Informatik, es gibt immer auch eine Operation, die nichts verändert.
- Zwei-Qubit Gates:
- Swap-Gate, symbolisiert durch die zwei X, die übereinander stehen und mit einer senkrechten Linie verbunden sind: Vertauscht die Zustände der beiden betroffenen Qubits
- cH, controlled H-Gate: Analog zum CNOT führt es H für das controlled Qubit aus, wenn das controlling Qubit im Zustand |1> ist.
- Controlled Z-Gate, symbolisiert durch die zwei mit einem senkrechten Linie verbundene Punkte: Analog zum CNOT führt es Z für das controlled Qubit aus, wenn das controlling Qubit im Zustand |1> ist.
- Das Tofoli-Gate ist ein 3-Qubit Gate. Um das zu verstehen müssen wir zunächst unsere Zustandsbeschreibungen auf 3-Qubit Zustände erweitern.
Das machen wir gleich im Anschluß, ohne große Pause. Wir holen uns nur schnell einen Kaffe oder ein stilles Wasser. Dann gehts hier weiter.
Hier noch ein paar neue Begriffe aus diesem Anschnitt in Fortführung der tabellarischen Übersicht.
| Begriff englisch | Begriff deutsch | Bedeutung |
| CNOT-Gate | CNOT-Gatter | Controlled NOT - CNOT verknüpft zwei Qubits. In Abhängigkeit vom Zustand des einen Qubits ändert sich der des anderen. |
| Control | Control | Qubit, dessen Zustand beim CNOT Gate den des anderen "steuert" |
| Controlled | Controlled | Qubit, dessen Zustand beim CNOT Gate durch den des anderen "gesteuert" wird. |
| Y, Z, ID | Y, Z, ID | Weitere 1-Qubit Gates |
| 2-Qubit Gates | 2-Qubit Gates | Gates, die sich über zwei Qubits erstrecken |
| Swap-Gate | Swap-Gatter | 2-Qubit Gatter, vertauscht die Zustände zweier Qubits |
| cH-Gate | cH-Gatter | Controlled H-Gate, analog CNOT für H |
| cZ-Gate | cZ-Gatter | Controlled Z-Gate, analog CNOT für Z |
| Tofoli-Gate | Tofoli-Gatter | Ein controlled 3-Qubit Gate. Eine Art Erweiterung des CNOT auf 2 steuernde Qubits. |
| |+>, |-> | |+>, |-> | Ket-Bezeichnung für 1/√2(1,1) bzw. 1/√2(1,-1) |
Q9 Verschränkung und andere 2-Qubit Phänomene
Der Einsatz des CNOT Gates in Q8, Beispiel 7 (Circuit 7), führte zu einem überraschenden Ergebnis im Vergleich zu den vorausgehenden 2-Qubit Circuits. Es gibt von den sonst möglichen vier 2-Bit Messergebnissen nur die Ergebnisse 00 und 11 aus. Die beiden Qubits sind scheinbar "gleichgeschaltet". Man bezeichnet dieses Phänomen in der Qubit-Welt auch als Verschränkung (entanglement). Warum, das wird weiter unten noch genauer erklärt.
Es drängen sich eine ganze Reihe von Experimenten mit Varianten von Circuit 7 auf, von denen wir uns einige ansehen wollen. Wir werden dabei nicht immer die Composer-Grafik dazu einfügen. Wer Lust hat, kann sich das Bild dazu aufmalen. Noch besser und spannender wäre es, die 2-Qubit Circuits nicht nur zu diskutieren, sondern selbst mit dem IBM Q Experience Simulator auszuprobieren. Der Zugang ist, wie gesagt einfach und in einem eigenen Blog kurz beschrieben, und das Erstellen und Testen im Composer ist ebenfalls "Drag&Drop"-leicht.
2-Qubit Circuits
Hier zunächst noch einmal die Ausgangsgrafik des "Circuit 7", der 00 und 11 mit der Häufigkeit 0.5 liefert.
1. Was würde passieren, wenn wir vor das H-Gate noch ein X einfügen würden? Einfache Überlegung: Der Startzustand |0> von q0 würde zunächst in |1> verändert. H angewendet auf |1> ergibt 1/√2 (|0>- |1>) (s. Q8, Beispiel 6). Der Unterschied zu Circuit 7 ist also das Minus-Zeichen. Nach CNOT mit q1 macht das aber keinen Unterschied im Messergebnis, denn die Häufigkeiten von 0 und 1 entsprechen dem Quadrat der Koeffizienten. Und (-1/√2)² ist das Gleiche wie (1/√2)². Damit erwarten wir das gleiche Ergebnis wie bei Circuit 7. Das Simulationsergebnis bestätigt dies.
2. Was wäre, wenn X auf q1 vor CNOT angewendet würde? Dann ist q1 vor CNOT im Zustand |1>. Für q0 im Zustand |1> ändert sich dann q1 zu |0>, sonst bleibt es |1>. Wie demnach zu erwarten, liefert die Messung nun 01 und 10 zu je rund 50%. Wir haben hier also einen Circuit der "Ungleichschaltung". Wenn wir bei einem Qubit z.B. eine 0 messen, wissen wir, dass das andere 1 ergeben muß. Und umgekehrt. Wir haben hier also auch eine Form der Verschränkung.
3. Was ist ausschlaggebend für das Verschränkungsphänomen? Ist es das H-Gate? Was ein X-Gate zusätzlich bewirkt, bei q0 oder q1, haben wir schon gesehen. Versuchen wir es mal mit anderen Gates und testen das mit dem Simulator. Bleiben wir zunächst bei Qubit 0 und ersetzen das H durch X bzw. durch unsere Rotation Ry.
Ersetzen wir H durch X, können wir das Ergebnis einfach vorhersagen: X verkehrt den Ausgangszustand, also ist q0 bei CNOT im Zustand |1>, damit wird q1 umgekehrt, also |1>. Wir bekommen determiniert das Ergebnis 11 bei 100% der Messungen.
Ersetzen wir H durch Ry mit dem Gate-Parameter π/3, dann wird der Startzustand von q0 im x-y-Koordinatensystem um 30º gedreht.
Als Simulatorergebnis (1024 shots) bekommen wir: 74% 0000, 26% 0011.
D.h. wir finden wieder eine "Gleichschaltung" der Zustände wie in Circuit 7, allerdings mit einer anderen Häufigkeitsverteilung. Die entspricht der Häufigkeitsverteilung bei einer 1-Qubit Anwendung von Ry(π/3) in Q8, Beispiel 3b. Offenbar ist das Vorliegen einer Superposition für q0 ausschlaggebend für Verschränkung. Wir werden später sehen, ob die Vermutung stimmt.
4. Nun zu q1. Was passiert, wenn wir q1 in eine Superposition versetzen, z.B. mittels H.
Als Simulationsergebnis bekommen wir hier eine Häufigkeitsverteilung über alle 4 Möglichkeiten. Z.B.:
| Bit-Ergebnis | H | Ry(π/3) |
| 0000 | 26% | 36% |
| 0001 | 25% | 11% |
| 0010 | 23% | 13% |
| 0011 | 26% | 40% |
Setzen wir statt H die Rotation Ry(π/3) ein, ergibt sich das enstprechende Bild (rechte Spalte) zu rund 3/8, 1/8, 1/8, 3/8.
Die beiden Beispiele zeigen offenbar keine Verschränkung, sondern eine Verteilung über alle 4 möglichen Messergebnisse. Wenn wir aufgrund der Experimente mit den Varianten eine Vermutung anstellen wollten, dann die, dass CNOT eine Verschränkung (ob gleich oder ungleich geschaltet) nur dann liefert, wenn eines der Qubits in einem Basiszustand ist. Wir werden diese Vermutung weiter unten "rechnerisch" untersuchen.
5. Bisher haben wir zusätzliche Gates immer vor das CNOT geschaltet. Was ist, wenn wir das im verschränkten Zustand tun? Die einfachste Variante ist, ein X-Gate nach dem CNOT auf die q1-Leitung zu setzen. Also so:
Was würde man erwarten? Vor dem X-Gate ist der Zustand des 2-Qubit-Systems verschränkt bzgl. 00 und 11. Danach findet man als Messergebnis die "Umkehrung", 01 und 10. Das gleiche finden wir, wenn wir das X-Gate auf q0 setzen. Schalten wir dagegen für beide Qubits ein X-Gate nach, bleibt das Ergebnis 00 und 11 zu je 50%. Macht man die gleichen Tests mit dem H-Gate anstelle des X-Gate, bekommt man - und das ist nicht mehr ganz so überraschend - bei einem H-Gate jeweils eine Verteilung über alle 4 Möglichkeiten, bei H auf beiden Wires wiederum das Ergebnis 00 und 11 zu je 50%.
Es sei betont, dass wir immer nur die Messergebnisse sehen. Was mit den Zuständen passiert, können wir erst untersuchen, wenn wir ein formale Beschreibung für Systeme aus zwei oder mehr Qubits haben.
6. Ein algorithmisches Beispiel kann uns aber doch noch überraschen. Es ist gleichzeitig ein ziemlich wichtiger Baustein für Qubit-Algorithmen. Das Schaltbild dazu ist
Das Ergebnis ist - 01 und 11 zu je 50%! Das scheint zu keinem der bisherigen Ergebnisse zu passen. Ohne das nachgeschaltete H-Gate für q0 bekommen wir, wie zu erwarten, das Ergebnis von Beispiel 4, also alle vier Ergebnismöglichkeiten zu 25%. Abgesehen davon, wissen wir, dass H, zweimal hinternander auf |0> angewandt, wieder |0> ergbit.
Es würde uns jetzt nicht wundern, wenn es auch eine Circuit-Variante gibt, die 00 und 10 liefert. Richtig, ohne das X-Gate, also die initiale Umkehrung des Startzustands von q1! Wenn wir beides zusammen betrachten, sieht es so aus, als ob das Ergebnis von Qubit q0, das rechte der zwei Bits, durch q1 umgeschaltet. Durch das CNOT sollte aber doch eigentlich q0 das q1 beeinflusst. Trotzdem, dieser Effekt ist korrekt und hat den schönen Namen (phase) kickback - das von q0 gesteuerte q1 "schlägt zurück". (Wir werden davon in Q15 interessanten Gebrauch machen.)
Es gibt noch zwei weitere Ergebnisse ähnlicher Art, nämlich 00 und 01 zu 50% und 10 und 11 mit je 50%. Es ist interessant zu versuchen, 2-Qubit Circuits zu konstruieren, die diese Ergebnisse liefern. Wer Lust hat, möge das mit dem IBM Composer ausprobieren.
2-Qubit Zustände
Um das zu verstehen, müssen wir uns mit den "Formeln" für Zwei- und Mehr-Qubit-Systeme befassen. Zunächst mal für 2-Qubit-Systeme, auch 2-Qubit-Register genannt, in Anlehnung an das Bit-Register, der zentralen Komponente eines herkömmlichen (Bit-)Prozessors.
Wir erinnern uns, dass wir Qubit-Zustände als Punkte auf dem Einheitskreis im x-y-Koordinatensystems beschreiben können. Also z.B. (x,y) = (1/√2, -1/√2). Eine etwas andere Schreibweise, die häufig verwendet wird aber das Gleiche bedeutet, ist die, einen Qubit-Zustand als Kombination der Basis-Zustände (1,0) und (0,1) zu schreiben, für die außerdem die (aus der Quantenphysik stammenden) Symbole |0> und |1> verwendet werden. Das mag verwirren; es ist aber manchmal leichter einen Qubit-Zustands-Sachverhalt mal in der einen oder der anderen Form zu beschreiben. Man mache sich klar, dass (x,y) und x*(1,0)+y*(0,1) und x*|0>+y*|1> das Gleiche ausdrücken. Aus historischen Gründen nennt man diese Schreibweise die Ket-Schreibweise - statt z.B. "Rechts-Spitzklammer"-Schreibweise - und nennt ein Symbol |a> für einen Qubit-Zustand ein ket, bzw. ket-a.
Was ist nun der Zustand eines 2-Qubit-Systems? Eigentlich nur die Kombination von zwei Qubit-Zuständen nach der Methode "jeder mit jedem". (Wem das zu unmathematisch klingt, kann sagen, es ist das Tensorprodukt der beiden.) Haben wir also ein Qubit q0 im Zustand (u,v) und q1 im Zustand (x,y), so ist der Zustand des 2-Qubit-Systems (ux, uy, vx, vy). Er besteht also aus 4 Koordinaten, die sich aus der Multiplikation der Koordinaten der beiden Qubit-Zustände ergibt. Hier sind einige übliche Schreibweisen, an die man sich wohl gewöhnen muß - es steckt aber immer das Gleiche dahinter:
(u,v)⊗(x,y) = (ux, uy, vx, vy)
oder, wenn wir in der Ket-Schreibweise den Zustand von q0 mit |a> und den von q1 mit |b> symbolisieren
|a>⊗|b> = (ux, uy, vx, vy), wenn wir |a>=u*|0>+v*|1> und |b>=x*|0>+y*|1> für die Zustände von q0 und q1 schreiben.
Wenn man den 2-Qubit-Zustand so beschreibt, stellt man fest, dass erfreulicherweise die 4 Koodinaten wieder auf einem 4-dimensionalen "Einheitkreis" liegen. Das ist schwer vorzustellen, aber einfach als Formel auszudrücken:
|ux|²+|uy|²+|vx|²+|vy|² = 1
Da die Einzel-Zustände auf dem "normalen" Einheitskreis liegen, also |u|²+|v|²=1 und |x|²+|y|²=1, ergibt sich das einfach durch Ausrechnen von (|u|²+|v|²)* (|x|²+|y|²).
Wir konstruieren uns einige Beispiele und zeigen sie in der Tabelle in Koordinatenform. In der rechten Spalte ist das jeweilige 2-Zustands-Messergebnis dargestellt, also das, was wir z.B. bei den Messungen entsprechender 2-Qubit Circuits erwarten können.
| Koordinaten | Koordinaten | Messung | |
| q0 | q1 | 2-Qubit-Zustand | 2-Bit Ergebnis : Häufigkeit |
| (1,0) | (1,0) | (1,0,0,0) | 00: 1.0 |
| (1,0) | (0,1) | (0,1,0,0) | 01: 1.0 |
| (0,1) | 1/√2*(1,1) | 1/√2*(0,0,1,1) | 10: 0.5 11: 0.5 |
| (u,v) | (x,y) | (ux,uy,vx,vy) | 00: |ux|² 01: |uy|² 10: |vx|² 11: |vy|² |
Zum Vergleich - und zur Gewöhnung - schreiben wir die Tabelle noch einmal in Ket-Schreibweise. (Die Messergebnisse sind die gleichen.)
| q0 - Ket | q1 - Ket | 2-Qubit-Zustand - Ket |
| |0> | |0> | 1*|00> |
| |0> | |1> | 1*|01> |
| |1> | 1/√2*(|0>+|1>) | 1/√2*(|10>+|11>) |
| u|0>+v|1> | x|0>+y|1> | ux|00>+ uy|01>+ vx|10> + vy|11> |
Etwas fällt vielleicht noch auf: die Kets mit zwei Ziffern, etwa |01>. Das ist einfach wieder eine abkürzende Schreibweise für |0>⊗|1>, also die Kombination von zwei Qubit-Zuständen (in Ket-Schreibweise) zu einem 2-Zustands-Ket.
Die Ket-Schreibweise erleichtert bei Zwei- und Mehr-Qubit-Zuständen die Sicht auf die Messergebnisse. Der Operator M, auf einen allgemeinen 2-Qubit-Zustand (w, x, y, z) angewendet liefert die Wahrscheinlichkeiten |w|², |x|², |y|², |z|². Aber was ist was? Man kann sich merken, dass |w|² für Bitfolge 00 der Messung, |x|² für 01 usw. gilt. Schreibt man den Zustand in Ket-Form, dann sieht man es sofort. Denn (w,x,y,z) = w|00> + x|01> + y|10> + z|11>. Damit ist, bei 2-Qubit-Zuständen,
M(w,x,y,z) = ( |w|², |x|², |y|², |z|²)
eine "theoretische Formel" für den Messvorgang. Gemessen wird der Zustand, das Ergebnis (rechts) sind Wahrscheinlichkeiten für die 2-Bit-Folgen. Man hat hiermit also eine Verknüpfung zwischen Qubits und klassichen Bits.
Um Verwirrung zu vermeiden, werden wir allerdings im Weiteren vorzugsweise die Koordinaten-Schreibweise verwenden.
Verschränkte 2-Qubit-Zustände
Im Prinzip kann man alle Punkte im 4-dim Koordinatensystem, die als Summe ihrer Quadrate 1 ergeben, als 2-Qubit-Zustände betrachten. Bei Messungen ergäben sich aus solchen Zuständen die Quadrate der Koordinaten als Häufigkeitsverteilung über die vier möglichen (Bit-) Messergebnisse 00, 01, 10, 11. D.h. beliebige 4 Zahlen (w, x, y, z) mit |w|²+|x²|+|y|²+|z|²=1 ergeben einen zulässigen 2-Qubit-Zustand.
Allerdings, nicht jeder Zustand in dieser Form lässt sich - wie oben - aus den Zuständen von zwei Qubits herstellen! Das ist verblüffend, aber lässt sich leicht überprüfen.
Circuit 7, oben, lieferte als Messung 00 und 11 mit Häufigkeit 0.5, und 01 bzw 10 mit Häufigkeit 0. Wenn der (unbekannte) 2-Quibt-Zustand, der zu dieser Messung führt, eine Kombination (u,v)⊗(x,y) = (ux, uy, vx, vy) von zwei Qubits wäre, müssten |ux|² = |vy|² = 0,5 sein und gleichzeitig |uy|² = |vx|² = 0. D.h. einerseits müssen u,x,v und y ungleich Null sein, andererseits müssen u oder y, sowie v oder x Null sein. Das ist offensichtlich ein Widerspruch.
Der Zustand, der in Circuit 7 gemessen wird, ist damit ein zulässiger und herstellbarer 2-Qubit-Zustand. Er kann aber nicht aus zwei Qubits zusammengesetzt werden, oder, anders ausgedrückt, er ist nicht separierbar. Das System aus zwei Qubits, das in einen nicht-separierbaren 2-Qubit-Zustand überführt wird, ist verschränkt. Das ist es, was dahinter steckt! Man mag nun selber überprüfen, welche der Circuits oben ebenfalls verschränkte Zustände liefern. (Wer Lust hat - der Kommentar-Bereich steht offen.)
Eine Konsequenz der Verschränkung ist, dass man nicht von den Zuständen der beiden Qubits sprechen kann. Im eigentlichen Sinne haben sie keinen Zustand. Allein das Gesamtsystem hat einen Zustand. Insofern kann man auch nur das Gesamtsystem messen, nicht die "involvierten" Qubits.
Die Wirkung von Gates
Mit Hilfe der Zustandsbeschreibungen können wir nun auch die Wirkung von Gates "berechenbar" machen. D.h., obwohl wir sie nicht per Messung verfolgen können, lässt sich die Abfolge der Zustände rechnerisch darstellen.
Das machen wir im nächsten Blog-Beitrag; denn jetzt haben wir uns spätestens eine Pause verdient, bei der wir entspannt noch mal über alles nachdenken können.
Hier geht's dann anschließend weiter.
Stay tuned!
Hier noch ein paar neue Begriffe aus diesem Anschnitt in Fortführung der tabellarischen Übersicht.
| Begriff englisch | Begriff deutsch | Bedeutung |
| Entanglement | Verschränkung | Nicht separierbarer Gesamtzustand eines 2-Qubit Systems |
| Separable | Separierbar | 2-Qubit-Zustand, der sich aus zwei Qubit-Zuständen zusammensetzem lässt. |
| Register | Register | System von zwei oder mehr Qubits auf dem algorithmische Operationen ausgeführt werden |
| Ket | Ket | Zweite Silbe von Bra-cket. Schreibweise für Qubit-Zustände |
| Symbol ⊗ | Symbol ⊗ | Symbolisiert die Kombination von zwei Qubit-Zuständen zu einem Gesamtzustand. |
| |00>, |01> etc | |00>, |01> etc | Kurzschreibweise für |0>⊗|0>, |0>⊗|1>usw. |
| (Phase) Kickback | (Phase) Kickback | Spezielle Rückwirkung zwischen CNOT verbundenen Qubits |